Ensino SuperiorÁlgebra Vetorial UFBA Tópico resolvido

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vanhoff
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Álgebra Vetorial UFBA

Mensagem não lida por vanhoff »

Olá a todos!!! Estou com uma grande duvida nessa questão, eu cheguei a conclusão certa!? Desde já, agradeço.

Seja B := {[tex3]\vec{i}[/tex3] ,[tex3]\vec{j}[/tex3] ,[tex3]\vec{k}[/tex3] } uma base ortonormal positiva de [tex3]\mathbb{R}^3[/tex3]

.
Para vetores arbitrários [tex3]\vec{u}[/tex3] , [tex3]\vec{v}[/tex3] , [tex3]\vec{w}[/tex3] e escalares α, λ, µ, κ, ρ, calcule [[tex3]\vec{u}[/tex3] +(λ+µ)[tex3]\vec{v}[/tex3] −κ [tex3]\vec{w}[/tex3] ; [tex3]\vec{v}[/tex3] +ρ [tex3]\vec{w}[/tex3] ; α[tex3]\vec{u} + \vec{w}[/tex3] ],
i.e., determine β escalar tal que [[tex3]\vec{u}[/tex3] + (λ + µ)[tex3]\vec{v}[/tex3] − κ [tex3]\vec{w}[/tex3] ; [tex3]\vec{v}[/tex3] + ρ [tex3]\vec{w}[/tex3] ; α[tex3]\vec{u} + \vec{w}[/tex3] ] = β[[tex3]\vec{u}[/tex3] ,[tex3]\vec{v}[/tex3] ,[tex3]\vec{w}[/tex3] ].
Resposta

Respondi assim...
em forma de matrizes, temos:
β.
[tex3]\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 & (λ+4) & -k \\
0 & 1 & ρ \\
α & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
[/tex3]

podendo concluir que escalares α = λ = µ = κ = ρ = 0 e β = 1

Última edição: vanhoff (Dom 24 Out, 2021 12:18). Total de 1 vez.


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AnthonyC
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Re: Álgebra Vetorial UFBA

Mensagem não lida por AnthonyC »

Temos que a notação de colchetes indica o produto misto entre os vetores. Sabemos que o produto misto pode ser calculado por:
[tex3][\vec{a},\vec{b},\vec{c}]=\vec{a}\odot(\vec{b}\times\vec{c})[/tex3]
Vamos primeiro calcular o seguinte produto vetorial:
[tex3](\vec{v}+\rho\vec{w})\times(\alpha\vec{u}+\vec{w})[/tex3]
Sabemos que o produto vetorial é distributivo sobre a soma, logo:
[tex3](\vec{v}+\rho\vec{w})\times(\alpha\vec{u}+\vec{w})=\vec{v}\times\vec{u}+\rho\vec{w}\times\alpha\vec{u}+\vec{v}\times\vec{w}+\rho\vec{w}\times\vec{w}[/tex3]
Sabendo que o produto vetorial de um vetor com ele mesmo é nulo, temos que o último termo acima é nulo, logo:
[tex3](\vec{v}+\rho\vec{w})\times(\alpha\vec{u}+\vec{w})=\vec{v}\times\vec{u}+(\alpha\rho)\vec{w}\times\vec{u}+\vec{v}\times\vec{w}[/tex3]
Para facilitar a escrita, chamemos [tex3]\vec{v}\times\vec{u}=\vec{m}[/tex3], [tex3](\alpha\rho)\vec{w}\times\vec{u}=\vec{n}[/tex3] e [tex3]\vec{v}\times\vec{w}=\vec{p}[/tex3]. Assim, temos:
[tex3](\vec{v}+\rho\vec{w})\times(\alpha\vec{u}+\vec{w})=\vec{m}+\vec{n}+\vec{p}[/tex3]

Agora, calculemos o produto misto desejado:
[tex3]\beta[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=[\vec{u}+(\lambda+\mu)\vec{v}-\kappa\vec{w},\vec{v}+\rho\vec{w},\alpha\vec{u}+\vec{w}][/tex3]
[tex3]\beta[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=(\vec{u}+(\lambda+\mu)\vec{v}-\kappa\vec{w})\odot((\vec{v}+\rho\vec{w})\times(\alpha\vec{u}+\vec{w}))[/tex3]
[tex3]\beta[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=(\vec{u}+(\lambda+\mu)\vec{v}-\kappa\vec{w})\odot(\vec{m}+\vec{n}+\vec{p})[/tex3]
Como o produto escalar é distributivo sobre a soma, temos:
[tex3]\beta[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=\\\vec{u}\odot\vec{m}+(\lambda+\mu)\vec{v}\odot\vec{m}-\kappa\vec{w}\odot\vec{m}\\+\vec{u}\odot\vec{n}+(\lambda+\mu)\vec{v}\odot\vec{n}-\kappa\vec{w}\odot\vec{n}\\+\vec{u}\odot\vec{p}+(\lambda+\mu)\vec{v}\odot\vec{p}-\kappa\vec{w}\odot\vec{p}[/tex3]

Sabemos que o produto vetorial gera um vetor perpendiculares aos vetores utilizados. Sendo assim, temos que [tex3]\vec{m}\perp \vec{u},\vec{v}[/tex3], [tex3]\vec{n}\perp \vec{u},\vec{w}[/tex3] e [tex3]\vec{p}\perp \vec{v},\vec{w}[/tex3]. E sabemos que o produto escalar de vetores perpendiculares é nulo. Assim, todos os termos demarcados abaixo são nulos:
[tex3]\beta[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=\\{\color{red}\vec{u}\odot\vec{m}}+{\color{red}(\lambda+\mu)\vec{v}\odot\vec{m}}-\kappa\vec{w}\odot\vec{m}\\+{\color{red}\vec{u}\odot\vec{n}}+(\lambda+\mu)\vec{v}\odot\vec{n}-{\color{red}\kappa\vec{w}\odot\vec{n}}\\+\vec{u}\odot\vec{p}+{\color{red}(\lambda+\mu)\vec{v}\odot\vec{p}}-{\color{red}\kappa\vec{w}\odot\vec{p}}[/tex3]

[tex3]\beta[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=-\kappa\vec{w}\odot\vec{m}+(\lambda+\mu)\vec{v}\odot\vec{n}+\vec{u}\odot\vec{p}[/tex3]
[tex3]\beta[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=-\kappa\vec{w}\odot(\vec{v}\times\vec{u})+(\lambda+\mu)\vec{v}\odot((\alpha\rho)\vec{w}\times\vec{u})+\vec{u}\odot(\vec{v}\times\vec{w})[/tex3]
[tex3]\beta[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=-\kappa\vec{w}\odot(\vec{v}\times\vec{u})+(\lambda+\mu)(\alpha\rho)\vec{v}\odot(\vec{w}\times\vec{u})+\vec{u}\odot(\vec{v}\times\vec{w})[/tex3]
[tex3]\beta[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=-\kappa[\vec{w},\vec{v},\vec{u}]+(\lambda+\mu)(\alpha\rho)[\vec{v},\vec{w},\vec{u}]+[\vec{u},\vec{v},\vec{w}][/tex3]
Sabendo que o produto misto altera de sinal quando trocamos dois termos de lugar, temos:
[tex3]\beta[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=\kappa[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]-(\lambda+\mu)(\alpha\rho)[\vec{w},\vec{v},\vec{u}]+[\vec{u},\vec{v},\vec{w}][/tex3]
[tex3]\beta[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=\kappa[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]+(\lambda+\mu)(\alpha\rho)[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]+[\vec{u},\vec{v},\vec{w}][/tex3]
[tex3]\beta[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=(\kappa+(\lambda+\mu)(\alpha\rho)+1)[\vec{u},\vec{v},\vec{w}][/tex3]
Logo, [tex3]\beta =\kappa+(\lambda+\mu)(\alpha\rho)+1[/tex3].

Última edição: AnthonyC (Ter 26 Out, 2021 21:32). Total de 1 vez.


[tex3]\color{YellowOrange}\textbf{Não importa o quanto se esforce ou evolua, você sempre estará abaixo do Sol}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]

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