Ensino Superior ⇒ Álgebra Linear Tópico resolvido

[Keka]

Seja P2(R) o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 2 sobre R
com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar. Sejam
B = {1+t^2, t+t^2, 1+2t+t^2} e C = {1, t, t^2}
bases de P2(R).
Determine a matriz mudança de base da base B para a base C.

[AnthonyC]

Para encontrar a matriz mudança de base, precisamos expressar os vetores da base nova em função dos vetores da base antiga.
[tex3]1=a_1(1+t^2)+a_2(t+t^2)+a_3(1+2t+t^2)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]1=a_1(1+t^2)+a_2(t+t^2)+a_3(1+2t+t^2)[/tex3]

[tex3]1=(a_1+a_3) +(a_2+2a_3)t+(a_1+a_2+a_3)t^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]1=(a_1+a_3) +(a_2+2a_3)t+(a_1+a_2+a_3)t^2[/tex3]

Por igualdade de polinômios:
[tex3]\begin{cases}
a_1+a_3=1 \\
a_2+2a_3=0\\
a_1+a_2+a_3=0
\end{cases}\implies\begin{cases}
a_1={1\over2} \\
a_2=-1\\
a_3={1\over2}
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
a_1+a_3=1 \\
a_2+2a_3=0\\
a_1+a_2+a_3=0
\end{cases}\implies\begin{cases}
a_1={1\over2} \\
a_2=-1\\
a_3={1\over2}
\end{cases}[/tex3]

[tex3]t=b_1(1+t^2)+b_2(t+t^2)+b_3(1+2t+t^2)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]t=b_1(1+t^2)+b_2(t+t^2)+b_3(1+2t+t^2)[/tex3]

[tex3]t=(b_1+b_3) +(b_2+2b_3)t+(b_1+b_2+b_3)t^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]t=(b_1+b_3) +(b_2+2b_3)t+(b_1+b_2+b_3)t^2[/tex3]

Por igualdade de polinômios:
[tex3]\begin{cases}
b_1+b_3=0 \\
b_2+2b_3=1\\
b_1+b_2+b_3=0
\end{cases}\implies\begin{cases}
b_1=-{1\over2} \\
b_2=0\\
b_3={1\over2}
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
b_1+b_3=0 \\
b_2+2b_3=1\\
b_1+b_2+b_3=0
\end{cases}\implies\begin{cases}
b_1=-{1\over2} \\
b_2=0\\
b_3={1\over2}
\end{cases}[/tex3]

[tex3]t^2=c_1(1+t^2)+c_2(t+t^2)+c_3(1+2t+t^2)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]t^2=c_1(1+t^2)+c_2(t+t^2)+c_3(1+2t+t^2)[/tex3]

[tex3]t^2=(c_1+a_3) +(c_2+2a_3)t+(c_1+a_2+a_3)t^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]t^2=(c_1+a_3) +(c_2+2a_3)t+(c_1+a_2+a_3)t^2[/tex3]

Por igualdade de polinômios:
[tex3]\begin{cases}
c_1+c_3=0 \\
c_2+2c_3=0\\
c_1+c_2+c_3=1
\end{cases}\implies\begin{cases}
c_1={1\over2} \\
c_2=1\\
c_3=-{1\over2}
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
c_1+c_3=0 \\
c_2+2c_3=0\\
c_1+c_2+c_3=1
\end{cases}\implies\begin{cases}
c_1={1\over2} \\
c_2=1\\
c_3=-{1\over2}
\end{cases}[/tex3]

Assim, nossa matriz mudança de base será dada por:
[tex3][M]_B^C=\begin{pmatrix}
a_1 & b_1 & c_1 \\
a_2 & b_2 & c_2 \\
a_3 & b_3 & c_3 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3][M]_B^C=\begin{pmatrix}
a_1 & b_1 & c_1 \\
a_2 & b_2 & c_2 \\
a_3 & b_3 & c_3 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

[tex3][M]_B^C=\begin{pmatrix}
{1\over2} & -{1\over2} & {1\over2} \\
-1 & 0 & 1\\
{1\over2} & {1\over2} & -{1\over2} \\
\end{pmatrix}[/tex3]

[Keka]

muito obrigada, ajudou muito