Resposta
(x+2y,2x,-y,-4x-3y)
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Ensino Superior ⇒ Algebra Linear
Moderador: [ Moderadores TTB ]
-
Deleted User 25571
- Última visita: 31-12-69
Out 2021
24
21:33
Algebra Linear
Encontrar uma transformação linear [tex3]T:\mathbb{R}^{3}\rightarrow \mathbb{R}^{2}[/tex3]
tal que o núcleo seja gerado pelo conjunto {(1,0,-1)}.
(x+2y,2x,-y,-4x-3y)
(x+2y,2x,-y,-4x-3y)
-
AnthonyC
- Mensagens: 964
- Registrado em: 09 Fev 2018, 19:43
- Última visita: 21-02-24
- Agradeceu: 1 vez
- Agradeceram: 2 vezes
Out 2021
25
05:09
Re: Algebra Linear
Sabemos que o núcleo de uma transformação linear é o conjunto tal que a transformação linear sobre seus elementos resulta no elemento nulo. Assim, seja [tex3]u\in\ker\{T\}[/tex3]
. Por definição
[tex3]T(u)=\vec{0}[/tex3]
[tex3]T(u)=0[/tex3]
Queremos que o núcleo seja gerado pelo vetor [tex3](1,0,-1)[/tex3] . Assim, temos que:
[tex3]u=k(1,0,-1)[/tex3]
[tex3]u=(k,0,-k)[/tex3]
Pensemos em uma transformação linear da seguinte forma:
[tex3]T(x,y,z)=(ax+by+cz,mx+ny+pz)[/tex3] , [tex3]a,b,c,m,n,p\in\mathbb{R}[/tex3]
Vou deixar pra você verificar que isso é uma transformação linear, independente dos valores dos coeficientes. Queremos:
[tex3]T(k,0,-k)=(0,0)[/tex3]
[tex3](ak-ck,mk-pk)=(0,0)[/tex3]
Igualando as componentes:
[tex3]\begin{cases}
ak-ck=0 \\
mk-pk=0
\end{cases}[/tex3]
Queremos que esse resultado seja verdadeiro para qualquer [tex3]k[/tex3] . Vemos que [tex3]k=0[/tex3] satisfaz. Assim supomos que [tex3]k\neq 0[/tex3] e dividimos ambas as igualdades por [tex3]k[/tex3] :
[tex3]\begin{cases}
a-c=0\implies a=c \\
m-p=0\implies m=p
\end{cases}[/tex3]
Tomando [tex3]a=1[/tex3] e [tex3]m=1[/tex3] , temos:
[tex3]T(x,y,z)=(x+by+z,x+ny+z)[/tex3]
Basta agora verificar se o núcleo é gerado por mais algum vetor:
[tex3](0,0)=(x+by+z,x+ny+z)[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
x+by+z=0 \\
x+ny+z=0
\end{cases}[/tex3]
Subtraindo as equações:
[tex3](b-n)y=0\implies b=n\text{ ou } y=0[/tex3]
Se [tex3]b=n[/tex3] , então vetores da forma [tex3](k,y,-k)[/tex3] estarão no núcleo, sendo que estes não são gerados por [tex3](1,0,-1)[/tex3] . Logo, devemos ter [tex3]b\neq n[/tex3] . Assim, tomemos [tex3]b=1[/tex3] e [tex3]n=0[/tex3] . Logo:
[tex3]T(x,y,z)=(x+y+z,x+z)[/tex3]
Obs: creio que o gabarito seja de outra questão.
[tex3]T(u)=\vec{0}[/tex3]
[tex3]T(u)=0[/tex3]
Queremos que o núcleo seja gerado pelo vetor [tex3](1,0,-1)[/tex3] . Assim, temos que:
[tex3]u=k(1,0,-1)[/tex3]
[tex3]u=(k,0,-k)[/tex3]
Pensemos em uma transformação linear da seguinte forma:
[tex3]T(x,y,z)=(ax+by+cz,mx+ny+pz)[/tex3] , [tex3]a,b,c,m,n,p\in\mathbb{R}[/tex3]
Vou deixar pra você verificar que isso é uma transformação linear, independente dos valores dos coeficientes. Queremos:
[tex3]T(k,0,-k)=(0,0)[/tex3]
[tex3](ak-ck,mk-pk)=(0,0)[/tex3]
Igualando as componentes:
[tex3]\begin{cases}
ak-ck=0 \\
mk-pk=0
\end{cases}[/tex3]
Queremos que esse resultado seja verdadeiro para qualquer [tex3]k[/tex3] . Vemos que [tex3]k=0[/tex3] satisfaz. Assim supomos que [tex3]k\neq 0[/tex3] e dividimos ambas as igualdades por [tex3]k[/tex3] :
[tex3]\begin{cases}
a-c=0\implies a=c \\
m-p=0\implies m=p
\end{cases}[/tex3]
Tomando [tex3]a=1[/tex3] e [tex3]m=1[/tex3] , temos:
[tex3]T(x,y,z)=(x+by+z,x+ny+z)[/tex3]
Basta agora verificar se o núcleo é gerado por mais algum vetor:
[tex3](0,0)=(x+by+z,x+ny+z)[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
x+by+z=0 \\
x+ny+z=0
\end{cases}[/tex3]
Subtraindo as equações:
[tex3](b-n)y=0\implies b=n\text{ ou } y=0[/tex3]
Se [tex3]b=n[/tex3] , então vetores da forma [tex3](k,y,-k)[/tex3] estarão no núcleo, sendo que estes não são gerados por [tex3](1,0,-1)[/tex3] . Logo, devemos ter [tex3]b\neq n[/tex3] . Assim, tomemos [tex3]b=1[/tex3] e [tex3]n=0[/tex3] . Logo:
[tex3]T(x,y,z)=(x+y+z,x+z)[/tex3]
Obs: creio que o gabarito seja de outra questão.
Editado pela última vez por AnthonyC em 25 Out 2021, 05:14, em um total de 1 vez.
[tex3]\color{YellowOrange}\textbf{Não importa o quanto se esforce ou evolua, você sempre estará abaixo do Sol}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
-
- Tópicos Semelhantes
- Respostas
- Exibições
- Última mensagem
-
- 3 Respostas
- 1090 Exibições
-
Última mensagem por Vinisth
-
- 2 Respostas
- 980 Exibições
-
Última mensagem por danjr5
-
- 1 Respostas
- 1236 Exibições
-
Última mensagem por MPSantos
-
- 1 Respostas
- 1256 Exibições
-
Última mensagem por Alback222
-
- 1 Respostas
- 1140 Exibições
-
Última mensagem por matbatrobin
