Ensino SuperiorAlgebra Linear

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Out 2021 24 21:33

Algebra Linear

Mensagem não lida por Deleted User 25571 »

Encontrar uma transformação linear [tex3]T:\mathbb{R}^{3}\rightarrow \mathbb{R}^{2}[/tex3] tal que o núcleo seja gerado pelo conjunto {(1,0,-1)}.

Resposta

(x+2y,2x,-y,-4x-3y)




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AnthonyC
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Out 2021 25 05:09

Re: Algebra Linear

Mensagem não lida por AnthonyC »

Sabemos que o núcleo de uma transformação linear é o conjunto tal que a transformação linear sobre seus elementos resulta no elemento nulo. Assim, seja [tex3]u\in\ker\{T\}[/tex3] . Por definição
[tex3]T(u)=\vec{0}[/tex3]
[tex3]T(u)=0[/tex3]
Queremos que o núcleo seja gerado pelo vetor [tex3](1,0,-1)[/tex3] . Assim, temos que:
[tex3]u=k(1,0,-1)[/tex3]
[tex3]u=(k,0,-k)[/tex3]
Pensemos em uma transformação linear da seguinte forma:
[tex3]T(x,y,z)=(ax+by+cz,mx+ny+pz)[/tex3] , [tex3]a,b,c,m,n,p\in\mathbb{R}[/tex3]
Vou deixar pra você verificar que isso é uma transformação linear, independente dos valores dos coeficientes. Queremos:
[tex3]T(k,0,-k)=(0,0)[/tex3]
[tex3](ak-ck,mk-pk)=(0,0)[/tex3]
Igualando as componentes:
[tex3]\begin{cases}
ak-ck=0 \\
mk-pk=0
\end{cases}[/tex3]
Queremos que esse resultado seja verdadeiro para qualquer [tex3]k[/tex3] . Vemos que [tex3]k=0[/tex3] satisfaz. Assim supomos que [tex3]k\neq 0[/tex3] e dividimos ambas as igualdades por [tex3]k[/tex3] :
[tex3]\begin{cases}
a-c=0\implies a=c \\
m-p=0\implies m=p
\end{cases}[/tex3]
Tomando [tex3]a=1[/tex3] e [tex3]m=1[/tex3] , temos:
[tex3]T(x,y,z)=(x+by+z,x+ny+z)[/tex3]
Basta agora verificar se o núcleo é gerado por mais algum vetor:
[tex3](0,0)=(x+by+z,x+ny+z)[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
x+by+z=0 \\
x+ny+z=0
\end{cases}[/tex3]
Subtraindo as equações:
[tex3](b-n)y=0\implies b=n\text{ ou } y=0[/tex3]
Se [tex3]b=n[/tex3] , então vetores da forma [tex3](k,y,-k)[/tex3] estarão no núcleo, sendo que estes não são gerados por [tex3](1,0,-1)[/tex3] . Logo, devemos ter [tex3]b\neq n[/tex3] . Assim, tomemos [tex3]b=1[/tex3] e [tex3]n=0[/tex3] . Logo:
[tex3]T(x,y,z)=(x+y+z,x+z)[/tex3]

Obs: creio que o gabarito seja de outra questão.

Última edição: AnthonyC (Seg 25 Out, 2021 05:14). Total de 1 vez.


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