Olá, gostaria de ajuda para entender essa questão... Gratidão!
Seja B := {[tex3]\vec{u}[/tex3]
, [tex3]\vec{v}[/tex3]
, [tex3]\vec{w}[/tex3]
} um conjunto de vetores linearmente independente e seja [tex3]\vec{t}[/tex3]
:= a [tex3]\vec{u}[/tex3]
, b [tex3]\vec{v}[/tex3]
, c [tex3]\vec{w}[/tex3]
,
com a, b, c [tex3]\in [/tex3]
[tex3]\mathbb{R}[/tex3]
e c 6 [tex3]\neq [/tex3]
0. Mostre que {[tex3]\vec{u}[/tex3]
, [tex3]\vec{v}[/tex3]
, [tex3]\vec{t}[/tex3]
} é conjunto de vetores linearmente independente. O que
acontece se c = 0?
Ensino Superior ⇒ Álgebra Vetorial UFBA Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Out 2021
23
14:30
Álgebra Vetorial UFBA
“Somos todos estrelas de uma historia que está longe de acabar”
Griffith
Griffith
Out 2021
24
10:14
Re: Álgebra Vetorial UFBA
Não ficou claro como você está definido [tex3]\vec{t}[/tex3]
. Ele seria a soma? Vou supor que sim.
Temos [tex3]\vec{t}=a\vec{u}+b\vec{v}+c\vec{w}[/tex3] . Vamos verificar a dependência de [tex3]\{\vec{u},\vec{v},\vec{t}\}[/tex3] :
[tex3]A\vec{u}+B\vec{v}+C\vec{t}=0[/tex3]
[tex3]A\vec{u}+B\vec{v}+C(a\vec{u}+b\vec{v}+c\vec{w})=0[/tex3]
[tex3]A\vec{u}+B\vec{v}+aC\vec{u}+bC\vec{v}+cC\vec{w}=0[/tex3]
[tex3](A+aC)\vec{u}+(B+bC)\vec{v}+cC\vec{w}=0[/tex3]
Mas sabemos da independência linear de [tex3]\{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\}[/tex3] que a equação acima apenas tem solução apenas se todos os coeficiente forem nulos. Assim, temos:
[tex3]\begin{cases}
A+aC=0 \\
B+bC=0 \\
cC=0
\end{cases}[/tex3]
Como [tex3]c\neq 0[/tex3] , então [tex3]C=0\implies A=B=0[/tex3] . Logo, [tex3]\{\vec{u},\vec{v},\vec{t}\}[/tex3] são linearmente independentes.
Caso [tex3]c=0[/tex3] , então teríamos [tex3]A=-aC[/tex3] e [tex3]B=-bC[/tex3] como solução do sistema acima. Portanto, [tex3]\{\vec{u},\vec{v},\vec{t}\}[/tex3] seriam linearmente dependentes. Isso fica evidente ao analisar a definição de [tex3]\vec{t}[/tex3] , pois teríamos [tex3]\vec{t}=a\vec{u}+b\vec{v}[/tex3] , portanto [tex3]\vec{t}[/tex3] seria combinação linear dos outros dois, então eles obviamente não seriam linearmente independentes.
Temos [tex3]\vec{t}=a\vec{u}+b\vec{v}+c\vec{w}[/tex3] . Vamos verificar a dependência de [tex3]\{\vec{u},\vec{v},\vec{t}\}[/tex3] :
[tex3]A\vec{u}+B\vec{v}+C\vec{t}=0[/tex3]
[tex3]A\vec{u}+B\vec{v}+C(a\vec{u}+b\vec{v}+c\vec{w})=0[/tex3]
[tex3]A\vec{u}+B\vec{v}+aC\vec{u}+bC\vec{v}+cC\vec{w}=0[/tex3]
[tex3](A+aC)\vec{u}+(B+bC)\vec{v}+cC\vec{w}=0[/tex3]
Mas sabemos da independência linear de [tex3]\{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\}[/tex3] que a equação acima apenas tem solução apenas se todos os coeficiente forem nulos. Assim, temos:
[tex3]\begin{cases}
A+aC=0 \\
B+bC=0 \\
cC=0
\end{cases}[/tex3]
Como [tex3]c\neq 0[/tex3] , então [tex3]C=0\implies A=B=0[/tex3] . Logo, [tex3]\{\vec{u},\vec{v},\vec{t}\}[/tex3] são linearmente independentes.
Caso [tex3]c=0[/tex3] , então teríamos [tex3]A=-aC[/tex3] e [tex3]B=-bC[/tex3] como solução do sistema acima. Portanto, [tex3]\{\vec{u},\vec{v},\vec{t}\}[/tex3] seriam linearmente dependentes. Isso fica evidente ao analisar a definição de [tex3]\vec{t}[/tex3] , pois teríamos [tex3]\vec{t}=a\vec{u}+b\vec{v}[/tex3] , portanto [tex3]\vec{t}[/tex3] seria combinação linear dos outros dois, então eles obviamente não seriam linearmente independentes.
[tex3]\color{YellowOrange}\textbf{Não importa o quanto se esforce ou evolua, você sempre estará abaixo do Sol}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
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