8. Uma partícula se move ao longo de uma curva definida por σ(t) = (t − sen t, 1 − cos t),
0 ≤ t ≤ 2π.
a) Determine os instantes t1, t2 ∈ [0, 2π] onde v(t) = 1.
b) Calcule o espaço percorrido pela partícula no intervalo de tempo [t1, t2].
Ensino Superior ⇒ Calculo 3
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Out 2021
24
09:30
Re: Calculo 3
Não ficou muito claro o que você quer na (a), por que a equação [tex3]v(t)=1[/tex3]
não faz sentido. Vou assumir que você quer saber quando o módulo de [tex3]v(t)[/tex3]
é 1.
(a)
Sabemos que a velocidade de uma partícula pode ser obtida derivando sua posição, logo:
[tex3]\vec{v}(t)=\vec{\sigma}'(t)[/tex3]
[tex3]\vec{v}(t)=(1-\cos(t),\sen(t))[/tex3]
[tex3]|\vec{v}(t)|=\sqrt{(1-\cos(t))^2+\sen^2(t)}[/tex3]
[tex3]|\vec{v}(t)|=\sqrt{1-2\cos(t)+\cos^2(t)+\sen^2(t)}[/tex3]
[tex3]|\vec{v}(t)|=\sqrt{2-2\cos(t)}[/tex3]
Como queremos [tex3]|\vec{v}(t)|=1[/tex3] , então:
[tex3]\sqrt{2-2\cos(t)}=1[/tex3]
[tex3]{2-2\cos(t)}=1[/tex3]
[tex3]{-2\cos(t)}=-1[/tex3]
[tex3]{\cos(t)}={1\over2}[/tex3]
[tex3]t_1={\pi\over3}[/tex3] e [tex3]t_2={5\pi\over3}[/tex3]
b)
Sabemos que o espaço percorrido por uma partícula pode ser calculado através da seguinte integral:
[tex3]S=\int_{t_1}^{t_2}|v(t)|dt[/tex3]
Assim, temos:
[tex3]S=\int_{\pi\over3}^{5\pi\over3}\sqrt{2-2\cos(t)}dt[/tex3]
[tex3]S=\int_{\pi\over3}^{5\pi\over3}\sqrt2\sqrt{1-\cos(t)}dt[/tex3]
[tex3]S=\sqrt2\int_{\pi\over3}^{5\pi\over3}\sqrt{1-\cos(t)}dt[/tex3]
[tex3]S=\sqrt2\int_{\pi\over3}^{5\pi\over3}\sqrt{1-\cos(t)}\cdot{\sqrt{1+\cos(t)}\over\sqrt{1+\cos(t)}}dt[/tex3]
[tex3]S=\sqrt2\int_{\pi\over3}^{5\pi\over3}{\sqrt{1-\cos^2(t)}\over\sqrt{1+\cos(t)}}dt[/tex3]
[tex3]S=\sqrt2\int_{\pi\over3}^{5\pi\over3}{\sqrt{\sen^2(t)}\over\sqrt{1+\cos(t)}}dt[/tex3]
[tex3]S=\sqrt2\int_{\pi\over3}^{5\pi\over3}{|\sen(t)|\over\sqrt{1+\cos(t)}}dt[/tex3]
Dividindo em intervalos de acordo com o sinal de [tex3]\sen(t)[/tex3] :
[tex3]S=\sqrt2\int_{\pi\over3}^{\pi}{|\sen(t)|\over\sqrt{1+\cos(t)}}dt+\sqrt2\int_{\pi}^{5\pi\over3}{|\sen(t)|\over\sqrt{1+\cos(t)}}dt[/tex3]
[tex3]S=\sqrt2\int_{\pi\over3}^{\pi}{\sen(t)\over\sqrt{1+\cos(t)}}dt+\sqrt2\int_{\pi}^{5\pi\over3}{-\sen(t)\over\sqrt{1+\cos(t)}}dt[/tex3]
Fazendo a substituição [tex3]\begin{cases}
u=1+\cos(t) \\
du=-\sen(t) \\
\end{cases}[/tex3] com os limites apropriados, temos:
[tex3]S=\sqrt2\int_{3\over2}^{0}{-1\over\sqrt{u}}du+\sqrt2\int_{0}^{3\over2}{1\over\sqrt{u}}du[/tex3]
[tex3]S=\sqrt2\[-2\sqrt{u}\]_{3\over2}^{0}+\sqrt2\[2\sqrt{u}\]_{0}^{3\over2}[/tex3]
[tex3]S=4\sqrt3[/tex3]
(a)
Sabemos que a velocidade de uma partícula pode ser obtida derivando sua posição, logo:
[tex3]\vec{v}(t)=\vec{\sigma}'(t)[/tex3]
[tex3]\vec{v}(t)=(1-\cos(t),\sen(t))[/tex3]
[tex3]|\vec{v}(t)|=\sqrt{(1-\cos(t))^2+\sen^2(t)}[/tex3]
[tex3]|\vec{v}(t)|=\sqrt{1-2\cos(t)+\cos^2(t)+\sen^2(t)}[/tex3]
[tex3]|\vec{v}(t)|=\sqrt{2-2\cos(t)}[/tex3]
Como queremos [tex3]|\vec{v}(t)|=1[/tex3] , então:
[tex3]\sqrt{2-2\cos(t)}=1[/tex3]
[tex3]{2-2\cos(t)}=1[/tex3]
[tex3]{-2\cos(t)}=-1[/tex3]
[tex3]{\cos(t)}={1\over2}[/tex3]
[tex3]t_1={\pi\over3}[/tex3] e [tex3]t_2={5\pi\over3}[/tex3]
b)
Sabemos que o espaço percorrido por uma partícula pode ser calculado através da seguinte integral:
[tex3]S=\int_{t_1}^{t_2}|v(t)|dt[/tex3]
Assim, temos:
[tex3]S=\int_{\pi\over3}^{5\pi\over3}\sqrt{2-2\cos(t)}dt[/tex3]
[tex3]S=\int_{\pi\over3}^{5\pi\over3}\sqrt2\sqrt{1-\cos(t)}dt[/tex3]
[tex3]S=\sqrt2\int_{\pi\over3}^{5\pi\over3}\sqrt{1-\cos(t)}dt[/tex3]
[tex3]S=\sqrt2\int_{\pi\over3}^{5\pi\over3}\sqrt{1-\cos(t)}\cdot{\sqrt{1+\cos(t)}\over\sqrt{1+\cos(t)}}dt[/tex3]
[tex3]S=\sqrt2\int_{\pi\over3}^{5\pi\over3}{\sqrt{1-\cos^2(t)}\over\sqrt{1+\cos(t)}}dt[/tex3]
[tex3]S=\sqrt2\int_{\pi\over3}^{5\pi\over3}{\sqrt{\sen^2(t)}\over\sqrt{1+\cos(t)}}dt[/tex3]
[tex3]S=\sqrt2\int_{\pi\over3}^{5\pi\over3}{|\sen(t)|\over\sqrt{1+\cos(t)}}dt[/tex3]
Dividindo em intervalos de acordo com o sinal de [tex3]\sen(t)[/tex3] :
[tex3]S=\sqrt2\int_{\pi\over3}^{\pi}{|\sen(t)|\over\sqrt{1+\cos(t)}}dt+\sqrt2\int_{\pi}^{5\pi\over3}{|\sen(t)|\over\sqrt{1+\cos(t)}}dt[/tex3]
[tex3]S=\sqrt2\int_{\pi\over3}^{\pi}{\sen(t)\over\sqrt{1+\cos(t)}}dt+\sqrt2\int_{\pi}^{5\pi\over3}{-\sen(t)\over\sqrt{1+\cos(t)}}dt[/tex3]
Fazendo a substituição [tex3]\begin{cases}
u=1+\cos(t) \\
du=-\sen(t) \\
\end{cases}[/tex3] com os limites apropriados, temos:
[tex3]S=\sqrt2\int_{3\over2}^{0}{-1\over\sqrt{u}}du+\sqrt2\int_{0}^{3\over2}{1\over\sqrt{u}}du[/tex3]
[tex3]S=\sqrt2\[-2\sqrt{u}\]_{3\over2}^{0}+\sqrt2\[2\sqrt{u}\]_{0}^{3\over2}[/tex3]
[tex3]S=4\sqrt3[/tex3]
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