Determine o fluxo de [tex3]F(x,y,z)=sen(x,y,z)i+x^2yj+z^2e^{x/5}k[/tex3]
através da parte do cilindro [tex3]4y^2+z^2=4[/tex3]
que está acima do plano xy e entre os planos [tex3]x=-2[/tex3]
e [tex3]x=2[/tex3]
com orientação para cima.
Resposta: [tex3]\frac{16\pi+160senh(2/5)}{3}[/tex3]
Ensino Superior ⇒ Fluxo em um cilindro - Cálculo 3 Tópico resolvido
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joaopcarv 
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Out 2021
21
23:30
Re: Fluxo em um cilindro - Cálculo 3
Vamos parametrizar a superfície por [tex3]\mathsf{x, \ t}[/tex3]
. Para isso, observe:
[tex3]\mathsf{4 \cdot y^2 \ + \ z^2 \ = \ 4}[/tex3]
[tex3]\mathsf{y^2 \ + \ \dfrac{z^2}{4} \ = \ 1 \ \Rightarrow \ y \ = \ \cos(t), z \ = \ 2\cdot \sin(t)}[/tex3] é a parametrização de uma elipse.
Seja [tex3]\phi[/tex3] a superfície. Temos que:
[tex3]\mathsf{\phi(x,t) \ = \ (x, \ \cos(t), 2 \cdot \sin(t))}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\circ \dfrac{\partial \phi(x, t)}{\partial x} \ = \ (1,0,0)}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\circ \dfrac{\partial \phi(x, t)}{\partial t} \ = \ (0,-\sin(t),2 \cdot \cos(t))}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\circ\vec{n} \ = \ \dfrac{\partial \phi(x, t)}{\partial t} \times \dfrac{\partial \phi(x, t)}{\partial x} \ = \ (0, 2 \cdot \cos(t), \sin(t))}[/tex3] (orientação positiva).
Aplicando [tex3]\mathsf{\vec{F}}[/tex3] em [tex3]\phi:[/tex3]
[tex3]\mathsf{\vec{F} \ = \ \Big(\sin(x,y,z),\ x^2 \cdot \cos(t), \ 4 \cdot \sin^2(t) \cdot e^{\frac{x}{5}}\Big)}[/tex3]
Fazendo o produto escalar [tex3]\mathsf{\vec{F} \cdot \vec{n} \ = \ 2 \cdot x^2 \cdot \cos^2(t) \ + 4 \cdot sin^3(t) \cdot e^{\frac{x}{5}}}[/tex3]
Integrando esse produto na superfície, com os limites [tex3]\mathsf{-2 \leq \ x \leq 2}[/tex3] e [tex3]\mathsf{0 \ \leq \ t \ \leq \pi}[/tex3] (acima do plano [tex3]\mathsf{xy}[/tex3] ):
[tex3]\mathsf{\int^{\pi}_{0} \int^{2}_{-2} \bigg(2 \cdot x^2 \cdot \cos^2(t) \ + 4 \cdot sin^3(t) \cdot e^{\frac{x}{5}}\bigg) dx dt \ = \ I_1 \ + \ I_2}[/tex3]
Resolvendo cada uma das integrais:
[tex3]\mathsf{I_1 \ = \int^{\pi}_{0} \int^{2}_{-2} 2 \cdot x^2 \cdot \cos^2(t) \ dxdt \ = \ \cancel2\cdot \dfrac{\pi}{\cancel2} \cdot \dfrac{16}{3} \ = \ \dfrac{16 \cdot \pi}{3}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{I_2 \ = \ \int^{\pi}_{0} \int^{2}_{-2} 4 \cdot sin^3(t) \cdot e^{\frac{x}{5}} \ dx dt \ = \ 20 \cdot \bigg(e^{\frac{2}{5}} \ - \ e^{\frac{-2}{5}}\bigg) \cdot \dfrac{4}{3} \ = \ \dfrac{160}{3} \cdot \underbrace{\dfrac{\bigg(e^{\frac{2}{5}} \ - \ e^{\frac{-2}{5}}\bigg) }{2}}_{\sinh\big(\frac{2}{5}\big)}}[/tex3]
Temos então, por fim:
[tex3]\mathsf{\int \int_S \ \vec{F} \cdot \vec{n} \ dS \ = \ I_1 \ + \ I_2}[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{\mathsf{= \ \dfrac{16 \cdot \pi \ + \ 160 \cdot \sinh\big(\frac{2}{5}\big)}{3}}}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{4 \cdot y^2 \ + \ z^2 \ = \ 4}[/tex3]
[tex3]\mathsf{y^2 \ + \ \dfrac{z^2}{4} \ = \ 1 \ \Rightarrow \ y \ = \ \cos(t), z \ = \ 2\cdot \sin(t)}[/tex3] é a parametrização de uma elipse.
Seja [tex3]\phi[/tex3] a superfície. Temos que:
[tex3]\mathsf{\phi(x,t) \ = \ (x, \ \cos(t), 2 \cdot \sin(t))}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\circ \dfrac{\partial \phi(x, t)}{\partial x} \ = \ (1,0,0)}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\circ \dfrac{\partial \phi(x, t)}{\partial t} \ = \ (0,-\sin(t),2 \cdot \cos(t))}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\circ\vec{n} \ = \ \dfrac{\partial \phi(x, t)}{\partial t} \times \dfrac{\partial \phi(x, t)}{\partial x} \ = \ (0, 2 \cdot \cos(t), \sin(t))}[/tex3] (orientação positiva).
Aplicando [tex3]\mathsf{\vec{F}}[/tex3] em [tex3]\phi:[/tex3]
[tex3]\mathsf{\vec{F} \ = \ \Big(\sin(x,y,z),\ x^2 \cdot \cos(t), \ 4 \cdot \sin^2(t) \cdot e^{\frac{x}{5}}\Big)}[/tex3]
Fazendo o produto escalar [tex3]\mathsf{\vec{F} \cdot \vec{n} \ = \ 2 \cdot x^2 \cdot \cos^2(t) \ + 4 \cdot sin^3(t) \cdot e^{\frac{x}{5}}}[/tex3]
Integrando esse produto na superfície, com os limites [tex3]\mathsf{-2 \leq \ x \leq 2}[/tex3] e [tex3]\mathsf{0 \ \leq \ t \ \leq \pi}[/tex3] (acima do plano [tex3]\mathsf{xy}[/tex3] ):
[tex3]\mathsf{\int^{\pi}_{0} \int^{2}_{-2} \bigg(2 \cdot x^2 \cdot \cos^2(t) \ + 4 \cdot sin^3(t) \cdot e^{\frac{x}{5}}\bigg) dx dt \ = \ I_1 \ + \ I_2}[/tex3]
Resolvendo cada uma das integrais:
[tex3]\mathsf{I_1 \ = \int^{\pi}_{0} \int^{2}_{-2} 2 \cdot x^2 \cdot \cos^2(t) \ dxdt \ = \ \cancel2\cdot \dfrac{\pi}{\cancel2} \cdot \dfrac{16}{3} \ = \ \dfrac{16 \cdot \pi}{3}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{I_2 \ = \ \int^{\pi}_{0} \int^{2}_{-2} 4 \cdot sin^3(t) \cdot e^{\frac{x}{5}} \ dx dt \ = \ 20 \cdot \bigg(e^{\frac{2}{5}} \ - \ e^{\frac{-2}{5}}\bigg) \cdot \dfrac{4}{3} \ = \ \dfrac{160}{3} \cdot \underbrace{\dfrac{\bigg(e^{\frac{2}{5}} \ - \ e^{\frac{-2}{5}}\bigg) }{2}}_{\sinh\big(\frac{2}{5}\big)}}[/tex3]
Temos então, por fim:
[tex3]\mathsf{\int \int_S \ \vec{F} \cdot \vec{n} \ dS \ = \ I_1 \ + \ I_2}[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{\mathsf{= \ \dfrac{16 \cdot \pi \ + \ 160 \cdot \sinh\big(\frac{2}{5}\big)}{3}}}}[/tex3]
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Out 2021
23
12:29
Re: Fluxo em um cilindro - Cálculo 3
joaopcarv, você poderia me explicar esse passo
[tex3]\mathsf{I_2 \ = \ \int^{\pi}_{0} \int^{2}_{-2} 4 \cdot sin^3(t) \cdot e^{\frac{x}{5}} \ dx dt \ = \ 20 \cdot \bigg(e^{\frac{2}{5}} \ - \ e^{\frac{-2}{5}}\bigg) \cdot \dfrac{4}{3} \ = \ \dfrac{160}{3} \cdot \underbrace{\dfrac{\bigg(e^{\frac{2}{5}} \ - \ e^{\frac{-2}{5}}\bigg) }{2}}_{\sinh\big(\frac{2}{5}\big)}}[/tex3]
não ficou muito claro para mim.
[tex3]\mathsf{I_2 \ = \ \int^{\pi}_{0} \int^{2}_{-2} 4 \cdot sin^3(t) \cdot e^{\frac{x}{5}} \ dx dt \ = \ 20 \cdot \bigg(e^{\frac{2}{5}} \ - \ e^{\frac{-2}{5}}\bigg) \cdot \dfrac{4}{3} \ = \ \dfrac{160}{3} \cdot \underbrace{\dfrac{\bigg(e^{\frac{2}{5}} \ - \ e^{\frac{-2}{5}}\bigg) }{2}}_{\sinh\big(\frac{2}{5}\big)}}[/tex3]
não ficou muito claro para mim.
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joaopcarv
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Out 2021
23
17:29
Re: Fluxo em um cilindro - Cálculo 3
magben, claro, é o seguinte:
Dado que [tex3]\mathsf{x}[/tex3] e [tex3]\mathsf{t}[/tex3] são variáveis independentes, podemos integrar em cada variável separadamente. Ou seja:
[tex3]\mathsf{I_2 \ = \ 4 \cdot I_t \cdot I_x}[/tex3]
Começando por [tex3]\mathsf{t:}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\int_{0}^{\pi} \ \sin^3(t) \ dt \ = \ \int_{0}^{\pi} \ \sin(t) \cdot \underbrace{\Big(1 \ - \ \cos^2(t)\Big)}_{\sin^2(t)} \ dt}[/tex3]
[tex3]\mathsf{= \ \int_{0}^{\pi} \ \sin(t) \ dt \ - \ \int_{0}^{\pi} \ \sin(t) \cdot \cos^2(t) \ dt}[/tex3]
Sendo que [tex3]\mathsf{\int_{0}^{\pi} \ \sin(t) \ dt \ = \ - \cos(t) \bigg|_{0}^{\pi} \ = \ 2}[/tex3] , resolvendo a segunda integral por substituição [tex3]\mathsf{\big(\cos(t) \ = \ u, \ -\sin(t) \ dt \ = \ du\big)}[/tex3] , chegamos em:
[tex3]\mathsf{\int_{0}^{\pi} \ \sin(t) \cdot \cos^2(t) \ dt \ = \ -\int \ u^2 \ du \ = \ \dfrac{\cos^3(t)}{3} \Bigg|^{0}_{\pi} \ = \ \dfrac{2}{3}}[/tex3]
Temos então:
[tex3]\mathsf{\underbrace{2}_{\int_{0}^{\pi} \ \sin(t) \ dt} \ - \ \underbrace{\dfrac{2}{3}}_{\int_{0}^{\pi} \ \sin(t) \cdot \cos^2(t) \ dt} \ = \ \dfrac{4}{3}.}[/tex3]
[tex3]\mathsf{I_t \ = \ \int^{\pi}_{0} \ \sin^3(t) \ dt \ = \ \dfrac{4}{3}}[/tex3]
Calculando agora [tex3]\mathsf{I_x:}[/tex3]
[tex3]\mathsf{I_x \ = \ \int^{2}_{-2} \ e^{\frac{x}{5}} \ dx}[/tex3]
[tex3]\mathsf{= \ 5 \cdot e^{\frac{x}{5}} \Bigg|^{2}_{-2} \ = \ 5 \cdot \bigg(e^{\frac{2}{5}} \ - \ e^{\frac{-2}{5}}\bigg)}[/tex3]
Temos, por fim:
[tex3]\mathsf{I_2 \ = \ 4 \cdot \dfrac{4}{3} \cdot 5 \cdot \bigg(e^{\frac{2}{5}} \ - \ e^{\frac{-2}{5}}\bigg)}[/tex3] , porém, dado que:
[tex3]\mathsf{\sinh\bigg(\frac{2}{5}\bigg) \ = \ \dfrac{\bigg(e^{\frac{2}{5}} \ - \ e^{\frac{-2}{5}}\bigg)}{2} \ \therefore \ \bigg(e^{\frac{2}{5}} \ - \ e^{\frac{-2}{5}}\bigg) \ = \ 2 \cdot \sinh\bigg(\frac{2}{5}\bigg)}[/tex3]
[tex3]\mathsf{I_2 \ = \ \dfrac{80 \cdot 2 \cdot \sinh\bigg(\dfrac{2}{5}\bigg)}{3}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{I_2 \ = \ \dfrac{160\cdot \sinh\bigg(\dfrac{2}{5}\bigg)}{3}}[/tex3]
Dado que [tex3]\mathsf{x}[/tex3] e [tex3]\mathsf{t}[/tex3] são variáveis independentes, podemos integrar em cada variável separadamente. Ou seja:
[tex3]\mathsf{I_2 \ = \ 4 \cdot I_t \cdot I_x}[/tex3]
Começando por [tex3]\mathsf{t:}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\int_{0}^{\pi} \ \sin^3(t) \ dt \ = \ \int_{0}^{\pi} \ \sin(t) \cdot \underbrace{\Big(1 \ - \ \cos^2(t)\Big)}_{\sin^2(t)} \ dt}[/tex3]
[tex3]\mathsf{= \ \int_{0}^{\pi} \ \sin(t) \ dt \ - \ \int_{0}^{\pi} \ \sin(t) \cdot \cos^2(t) \ dt}[/tex3]
Sendo que [tex3]\mathsf{\int_{0}^{\pi} \ \sin(t) \ dt \ = \ - \cos(t) \bigg|_{0}^{\pi} \ = \ 2}[/tex3] , resolvendo a segunda integral por substituição [tex3]\mathsf{\big(\cos(t) \ = \ u, \ -\sin(t) \ dt \ = \ du\big)}[/tex3] , chegamos em:
[tex3]\mathsf{\int_{0}^{\pi} \ \sin(t) \cdot \cos^2(t) \ dt \ = \ -\int \ u^2 \ du \ = \ \dfrac{\cos^3(t)}{3} \Bigg|^{0}_{\pi} \ = \ \dfrac{2}{3}}[/tex3]
Temos então:
[tex3]\mathsf{\underbrace{2}_{\int_{0}^{\pi} \ \sin(t) \ dt} \ - \ \underbrace{\dfrac{2}{3}}_{\int_{0}^{\pi} \ \sin(t) \cdot \cos^2(t) \ dt} \ = \ \dfrac{4}{3}.}[/tex3]
[tex3]\mathsf{I_t \ = \ \int^{\pi}_{0} \ \sin^3(t) \ dt \ = \ \dfrac{4}{3}}[/tex3]
Calculando agora [tex3]\mathsf{I_x:}[/tex3]
[tex3]\mathsf{I_x \ = \ \int^{2}_{-2} \ e^{\frac{x}{5}} \ dx}[/tex3]
[tex3]\mathsf{= \ 5 \cdot e^{\frac{x}{5}} \Bigg|^{2}_{-2} \ = \ 5 \cdot \bigg(e^{\frac{2}{5}} \ - \ e^{\frac{-2}{5}}\bigg)}[/tex3]
Temos, por fim:
[tex3]\mathsf{I_2 \ = \ 4 \cdot \dfrac{4}{3} \cdot 5 \cdot \bigg(e^{\frac{2}{5}} \ - \ e^{\frac{-2}{5}}\bigg)}[/tex3] , porém, dado que:
[tex3]\mathsf{\sinh\bigg(\frac{2}{5}\bigg) \ = \ \dfrac{\bigg(e^{\frac{2}{5}} \ - \ e^{\frac{-2}{5}}\bigg)}{2} \ \therefore \ \bigg(e^{\frac{2}{5}} \ - \ e^{\frac{-2}{5}}\bigg) \ = \ 2 \cdot \sinh\bigg(\frac{2}{5}\bigg)}[/tex3]
[tex3]\mathsf{I_2 \ = \ \dfrac{80 \cdot 2 \cdot \sinh\bigg(\dfrac{2}{5}\bigg)}{3}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{I_2 \ = \ \dfrac{160\cdot \sinh\bigg(\dfrac{2}{5}\bigg)}{3}}[/tex3]
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Out 2021
24
17:19
Re: Fluxo em um cilindro - Cálculo 3
joaopcarv, queria como vc chegar nesses resultados. Eu tentei fazer, mas não cheguei nos valores que vc mencionou.
1) [tex3]\mathsf{\vec{F} \cdot \vec{n} \ = \ 2 \cdot x^2 \cdot \cos^2(t) \ + 4 \cdot sin^3(t) \cdot e^{\frac{x}{5}}}[/tex3]
2) [tex3]\mathsf{I_1 \ = \int^{\pi}_{0} \int^{2}_{-2} 2 \cdot x^2 \cdot \cos^2(t) \ dxdt \ = \ \cancel2\cdot \dfrac{\pi}{\cancel2} \cdot \dfrac{16}{3} \ = \ \dfrac{16 \cdot \pi}{3}}[/tex3]
1) [tex3]\mathsf{\vec{F} \cdot \vec{n} \ = \ 2 \cdot x^2 \cdot \cos^2(t) \ + 4 \cdot sin^3(t) \cdot e^{\frac{x}{5}}}[/tex3]
2) [tex3]\mathsf{I_1 \ = \int^{\pi}_{0} \int^{2}_{-2} 2 \cdot x^2 \cdot \cos^2(t) \ dxdt \ = \ \cancel2\cdot \dfrac{\pi}{\cancel2} \cdot \dfrac{16}{3} \ = \ \dfrac{16 \cdot \pi}{3}}[/tex3]
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Out 2021
24
20:17
Re: Fluxo em um cilindro - Cálculo 3
Tudo bem, vamos lá:
1)
Vamos fazer o produto escalar dos vetores [tex3]\mathsf{\vec{F}}[/tex3] e [tex3]\mathsf{\vec{n}}[/tex3] .
Sendo:
[tex3]\mathsf{\circ \ \vec{F} \ = \ \Big(\sin(x,y,z),\ x^2 \cdot \cos(t), \ 4 \cdot \sin^2(t) \cdot e^{\frac{x}{5}}\Big)}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\circ \ \vec{n} \ = \ (0, 2 \cdot \cos(t), \sin(t))}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\vec{F} \cdot \vec{n} \ = \ \bigg(\sin(x,y,z) \cdot 0 \bigg) \ + \ \bigg( x^2 \cdot \cos(t) \cdot 2 \cdot \cos(t)\bigg) \ + \ \bigg(4 \cdot \sin^2(t) \cdot e^{\frac{x}{5}} \cdot \sin(t)\bigg)}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\vec{F} \cdot \vec{n} \ = \ 2 \cdot x^2 \cdot \cos^2(t) \ + \ 4 \cdot \sin^3(t) \cdot e^{\frac{x}{5}}}[/tex3]
2)
Resolvendo a integral [tex3]\mathsf{I \ = \ \int^{\pi}_{0} \int^{2}_{-2} 2 \cdot x^2 \cdot \cos^2(t) \ dxdt}[/tex3] , as variáveis são independentes, e podemos calcular separadamente:
[tex3]\mathsf{I \ = \ 2 \cdot I_x \cdot I_t}[/tex3]
[tex3]\mathsf{I_x \ = \ \int_{-2}^{2} \ x^2 \ dx \ = \ \dfrac{x^3}{3} \ \Bigg|^{2}_{-2} = \dfrac{16}{3}}[/tex3]
Para [tex3]\mathsf{I_t}[/tex3] , vamos considerar que [tex3]\mathsf{\cos^2(t) \ = \ \dfrac{1 \ + \ \cos(2\cdot t)}{2}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{I_t \ = \ \int^{\pi}_{0} \ \dfrac{1 \ + \ \cos(2\cdot t)}{2} \ dt \ = \ \dfrac{t}{2} \ + \ \dfrac{\sin(2\cdot t)}{4} \ \Bigg|^{\pi}_{0} \ = \ \dfrac{\pi}{2}}[/tex3]
Por fim:
[tex3]\mathsf{I \ = \ \cancel{2} \cdot \dfrac{16}{3} \cdot \dfrac{\pi}{\cancel{2}} \ = \ \dfrac{16 \cdot \pi}{3}}[/tex3]
1)
Vamos fazer o produto escalar dos vetores [tex3]\mathsf{\vec{F}}[/tex3] e [tex3]\mathsf{\vec{n}}[/tex3] .
Sendo:
[tex3]\mathsf{\circ \ \vec{F} \ = \ \Big(\sin(x,y,z),\ x^2 \cdot \cos(t), \ 4 \cdot \sin^2(t) \cdot e^{\frac{x}{5}}\Big)}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\circ \ \vec{n} \ = \ (0, 2 \cdot \cos(t), \sin(t))}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\vec{F} \cdot \vec{n} \ = \ \bigg(\sin(x,y,z) \cdot 0 \bigg) \ + \ \bigg( x^2 \cdot \cos(t) \cdot 2 \cdot \cos(t)\bigg) \ + \ \bigg(4 \cdot \sin^2(t) \cdot e^{\frac{x}{5}} \cdot \sin(t)\bigg)}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\vec{F} \cdot \vec{n} \ = \ 2 \cdot x^2 \cdot \cos^2(t) \ + \ 4 \cdot \sin^3(t) \cdot e^{\frac{x}{5}}}[/tex3]
2)
Resolvendo a integral [tex3]\mathsf{I \ = \ \int^{\pi}_{0} \int^{2}_{-2} 2 \cdot x^2 \cdot \cos^2(t) \ dxdt}[/tex3] , as variáveis são independentes, e podemos calcular separadamente:
[tex3]\mathsf{I \ = \ 2 \cdot I_x \cdot I_t}[/tex3]
[tex3]\mathsf{I_x \ = \ \int_{-2}^{2} \ x^2 \ dx \ = \ \dfrac{x^3}{3} \ \Bigg|^{2}_{-2} = \dfrac{16}{3}}[/tex3]
Para [tex3]\mathsf{I_t}[/tex3] , vamos considerar que [tex3]\mathsf{\cos^2(t) \ = \ \dfrac{1 \ + \ \cos(2\cdot t)}{2}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{I_t \ = \ \int^{\pi}_{0} \ \dfrac{1 \ + \ \cos(2\cdot t)}{2} \ dt \ = \ \dfrac{t}{2} \ + \ \dfrac{\sin(2\cdot t)}{4} \ \Bigg|^{\pi}_{0} \ = \ \dfrac{\pi}{2}}[/tex3]
Por fim:
[tex3]\mathsf{I \ = \ \cancel{2} \cdot \dfrac{16}{3} \cdot \dfrac{\pi}{\cancel{2}} \ = \ \dfrac{16 \cdot \pi}{3}}[/tex3]
Última edição: joaopcarv (Dom 24 Out, 2021 20:19). Total de 1 vez.
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