Ensino Superior

Sejam [tex3]\alpha [/tex3] , [tex3]\beta [/tex3] e [tex3]\gamma [/tex3] os ângulos que o vetor não nulo [tex3]\vec{u}[/tex3] faz com os eixos coordenados OX, OY e OZ, respectivamente. Tais ângulos são ditos ângulos diretores do vetor [tex3]\vec{u}[/tex3] .

Demonstre que os cossenos diretores de [tex3]\vec{u}[/tex3] , isto é, os cossenos dos ângulos diretores do vetor [tex3]\vec{u}[/tex3] , satisfazem:
[tex3]cos^{2}[/tex3] [tex3]\alpha + cos^{2}[/tex3] [tex3]\beta + cos^{2}[/tex3] [tex3]\gamma [/tex3] = 1

[tex3]
||\vec{u}||^2=x_u^2+y_u^2+z_u^2,\text{ com }(x_u,y_u,z_u)\text{ as coordenadas de }\vec{u}\text{ em }(\vec{Ox},\vec{Oy},\vec{Oz})\\
\vec{u}=x_u\overrightarrow{Ox}+y_u\overrightarrow{Oy}+z_u\overrightarrow{Oz}=||\vec{u}||\cos\alpha\,\overrightarrow{Ox}+||\vec{u}||\cos\beta\,\overrightarrow{Oy}+||\vec{u}||\cos\gamma\,\overrightarrow{Oz}.\quad \text{projetando }\vec{u}\text{ em cada eixo do sistema de coordenadas.}\\[12pt]
\text{As coordenadas de um vetor sendo únicas, temos:}\left\{\begin{array}{}x_u=||\vec{u}||\cos\alpha\\y_u=||\vec{u}||\cos\beta\\z_u=||\vec{u}||\cos\gamma\end{array}\right.\\[24pt]
\text{e então }||\vec{u}||^2=||\vec{u}||^2\cos^2\alpha+||\vec{u}||^2\cos^2\beta+||\vec{u}||^2\cos^2\gamma\\
\text{que implica que }\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1\text{ já que }\vec{u}\neq\vec{0}
[/tex3]

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