Ensino Superior ⇒ Integral

[cjcaveira]

Seja f uma função contínua em [0,1] tal que
[tex3]\int_{0}^{1} f(x)dx= 18[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int_{0}^{1} f(x)dx= 18[/tex3]

.
Determine o valor de
[tex3]\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}cos(3x)f(sen(3x))dx[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}cos(3x)f(sen(3x))dx[/tex3]

[rcompany]

[tex3]
\bullet\ \text{Usando uma troca de variável:}\\[24pt]
\text{Seja }t=\sin(3x)\\
\text{Temos:}\\
x=\dfrac{\arcsin t}{3}\\
\mathrm{d}x=\dfrac{1}{3\sqrt{1-t^2}}\mathrm{d}t\\
\cos(3x)=\cos(\arcsin t)=\sqrt{1-\sin^2(\arcsin t)}=\sqrt{1-t^2}\text{ para }0\leqslant 3x\leqslant\frac{\pi}{2} \\
\text{e portanto:}\\
\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\cos(3x)f(\sin(3x))\mathrm{d}x=\int_0^{1}\sqrt{1-t^2}\cdot f(t)\cdot \dfrac{1}{3\sqrt{1-t^2}}\mathrm{d}t=\frac{1}{3}\int_0^1f(t)\mathrm{d}t=6\\[36pt]
\bullet \text{Usando a derivação de funções compostas:}\\[24pt]
\text{Seja } F\text{ uma primitiva de }f\\
\begin{align}
\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\cos(3x)f(\sin(3x))\mathrm{d}x&=\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\frac{1}{3}\left(\sin(3x)\right)'\cdot F'\!\!\left(\sin(3x)\right)\mathrm{d}x\\
&=\frac{1}{3}\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\left(F(\sin(3x)\right)'\mathrm{d}x\\
&=\frac{1}{3}\left[ F(\sin(3x))\right]_0^{\frac{\pi}{6}}\\
&=\frac{1}{3}(F(1)-F(0))=\frac{1}{3}\int_0^1f(x)\mathrm{d}x\\
&=\frac{18}{3}=6
\end{align}
[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]
\bullet\ \text{Usando uma troca de variável:}\\[24pt]
\text{Seja }t=\sin(3x)\\
\text{Temos:}\\
x=\dfrac{\arcsin t}{3}\\
\mathrm{d}x=\dfrac{1}{3\sqrt{1-t^2}}\mathrm{d}t\\
\cos(3x)=\cos(\arcsin t)=\sqrt{1-\sin^2(\arcsin t)}=\sqrt{1-t^2}\text{ para }0\leqslant 3x\leqslant\frac{\pi}{2} \\
\text{e portanto:}\\
\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\cos(3x)f(\sin(3x))\mathrm{d}x=\int_0^{1}\sqrt{1-t^2}\cdot f(t)\cdot \dfrac{1}{3\sqrt{1-t^2}}\mathrm{d}t=\frac{1}{3}\int_0^1f(t)\mathrm{d}t=6\\[36pt]
\bullet \text{Usando a derivação de funções compostas:}\\[24pt]
\text{Seja } F\text{ uma primitiva de }f\\
\begin{align}
\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\cos(3x)f(\sin(3x))\mathrm{d}x&=\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\frac{1}{3}\left(\sin(3x)\right)'\cdot F'\!\!\left(\sin(3x)\right)\mathrm{d}x\\
&=\frac{1}{3}\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\left(F(\sin(3x)\right)'\mathrm{d}x\\
&=\frac{1}{3}\left[ F(\sin(3x))\right]_0^{\frac{\pi}{6}}\\
&=\frac{1}{3}(F(1)-F(0))=\frac{1}{3}\int_0^1f(x)\mathrm{d}x\\
&=\frac{18}{3}=6
\end{align}
[/tex3]