Ensino Superior ⇒ Cálculo 1 Tópico resolvido

[Jota03]

Seja f uma função duas vezes derivável em [tex3]\mathbb{R}[/tex3]

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[tex3]\mathbb{R}[/tex3]

, com segunda derivada continua em [tex3]\mathbb{R}[/tex3]

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[tex3]\mathbb{R}[/tex3]

e que satisfaz
[tex3]\lim_{ x \rightarrow \infty } f(x)= \infty, \lim_{ x \rightarrow \infty } f’(x)= \infty,[/tex3]

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[tex3]\lim_{ x \rightarrow \infty } f(x)= \infty, \lim_{ x \rightarrow \infty } f’(x)= \infty,[/tex3]

e [tex3]\lim_{ x \rightarrow \infty } f’’(x)= 7[/tex3]

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[tex3]\lim_{ x \rightarrow \infty } f’’(x)= 7[/tex3]

.
Se [tex3]\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{f(6x)}{x^2+4x+7ln(x)}=L[/tex3]

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[tex3]\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{f(6x)}{x^2+4x+7ln(x)}=L[/tex3]

, determine L.

[AnthonyC]

Sabemos que [tex3]\lim_{ x \rightarrow \infty } f(x)= \infty[/tex3]

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[tex3]\lim_{ x \rightarrow \infty } f(x)= \infty[/tex3]

, substituindo [tex3]\begin{cases}
x=6u \\
x\rightarrow \infty \implies u\rightarrow \infty
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
x=6u \\
x\rightarrow \infty \implies u\rightarrow \infty
\end{cases}[/tex3]

, temos que [tex3]\lim_{ u \rightarrow \infty } f(6u)= \infty[/tex3]

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[tex3]\lim_{ u \rightarrow \infty } f(6u)= \infty[/tex3]

. Consideremos o seguinte limite:
[tex3]L=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{f(6x)}{x^2+4x+7\ln(x)}[/tex3]

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[tex3]L=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{f(6x)}{x^2+4x+7\ln(x)}[/tex3]

Podemos ver que tanto o numerador quanto o denominador tende a [tex3]\infty [/tex3]

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[tex3]\infty [/tex3]

, logo, temos uma situação do tipo [tex3]\infty \over\infty [/tex3]

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[tex3]\infty \over\infty [/tex3]

. Assim, podemos aplicar a Regra de L'Hospital:

Sejam [tex3]f(x),g(x)[/tex3] funções diferenciáveis em [tex3](a,b)[/tex3]. Se [tex3]x_0\in(a,b)[/tex3], [tex3]\lim_{x\rightarrow x_0}{f'(x)\over g'(x)}=L \text{ ou } \pm \infty[/tex3] e [tex3]\lim_{x\rightarrow x_0}{f(x)\over g(x)}={0\over0} [/tex3] ou [tex3]\infty\over\infty[/tex3], então [tex3]\lim_{x\rightarrow x_0}{f(x)\over g(x)}=\lim_{x\rightarrow x_0}{f'(x)\over g'(x)} [/tex3]

Logo:
[tex3]L=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{{d\over dx}[f(6x)]}{{d\over dx}\[x^2+4x+7\ln(x)\]}[/tex3]

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[tex3]L=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{{d\over dx}[f(6x)]}{{d\over dx}\[x^2+4x+7\ln(x)\]}[/tex3]

[tex3]L=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{6f'(6x)}{2x+4+{7\over x}}[/tex3]

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[tex3]L=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{6f'(6x)}{2x+4+{7\over x}}[/tex3]

Utilizando a mesma lógiga de antes, podemos mostrar que [tex3]\lim_{ x \rightarrow \infty } f’(6x)= \infty[/tex3]

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[tex3]\lim_{ x \rightarrow \infty } f’(6x)= \infty[/tex3]

. Assim, temos [tex3]\infty \over\infty [/tex3]

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[tex3]\infty \over\infty [/tex3]

. Assim, aplicamos novamente L'Hospital:
[tex3]L=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{{d\over dx}[6f'(6x)]}{{d\over dx}[2x+4+{7\over x}]}[/tex3]

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[tex3]L=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{{d\over dx}[6f'(6x)]}{{d\over dx}[2x+4+{7\over x}]}[/tex3]

[tex3]L=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{36f''(6x)}{2-{7\over x^2}}[/tex3]

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[tex3]L=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{36f''(6x)}{2-{7\over x^2}}[/tex3]

[tex3]L=\frac{36\lim_{x\rightarrow \infty }f''(6x)}{\lim_{x\rightarrow \infty }\[2-{7\over x^2}\]}[/tex3]

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[tex3]L=\frac{36\lim_{x\rightarrow \infty }f''(6x)}{\lim_{x\rightarrow \infty }\[2-{7\over x^2}\]}[/tex3]

De forma similar aos outros 2 limites, temos que [tex3]\lim_{ x \rightarrow \infty } f’’(6x)= 7[/tex3]

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[tex3]\lim_{ x \rightarrow \infty } f’’(6x)= 7[/tex3]

, logo:
[tex3]L=\frac{36\cdot 7}{2-0}[/tex3]

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[tex3]L=\frac{36\cdot 7}{2-0}[/tex3]

[tex3] L=126[/tex3]

[rcompany]

Regra de L'Hospital:

Sejam [tex3]f(x),g(x)[/tex3] funções diferenciáveis em [tex3](a,b)[/tex3]. Se [tex3]x_0\in(a,b)[/tex3] e [tex3]\lim_{x\rightarrow x_0}{f(x)\over g(x)}={0\over0} [/tex3] ou [tex3]\infty\over\infty[/tex3], então [tex3]\lim_{x\rightarrow x_0}{f(x)\over g(x)}=\lim_{x\rightarrow x_0}{{df\over dx}\over {dg\over dx}} [/tex3]

[tex3]
\text{Regra de l'Hospital:}\\
\text{Corrigir com "se }\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}\text{ existe (igual à }\ell\text{ real ou }\pm\infty)\text{, então } \lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}"\\[24pt]
1)\,\text{o limite de }\frac{f'}{g'}\text{ pode não existir}\\
2)\,\text{a inexistencia do limite de }\frac{f'}{g'}\text{ não diz nada sobre a existencia ou inexistencia do limite de }\frac{f}{g}

[/tex3]

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[tex3]
\text{Regra de l'Hospital:}\\
\text{Corrigir com "se }\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}\text{ existe (igual à }\ell\text{ real ou }\pm\infty)\text{, então } \lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}"\\[24pt]
1)\,\text{o limite de }\frac{f'}{g'}\text{ pode não existir}\\
2)\,\text{a inexistencia do limite de }\frac{f'}{g'}\text{ não diz nada sobre a existencia ou inexistencia do limite de }\frac{f}{g}

[/tex3]

[AnthonyC]

Obrigado por perceber a falta de informações, rcompany.