Ensino Superior ⇒ Limite

[magben]

Como calcular esse limite sem usar L'Hôspital?

a) [tex3]lim_{x\rightarrow 1}\left(\frac{\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt[4]{x}-1}\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]lim_{x\rightarrow 1}\left(\frac{\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt[4]{x}-1}\right)[/tex3]

[AnthonyC]

Precisamos eliminar o zero no denominador. Assim, consideremos:
[tex3]u^4-1=(u-1)(u^3+u^2+u^1+1)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]u^4-1=(u-1)(u^3+u^2+u^1+1)[/tex3]

Fazendo [tex3]u=\sqrt[4]{x}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]u=\sqrt[4]{x}[/tex3]

:
[tex3]x-1=(\sqrt[4]{x}-1)\(x^{3\over4}+x^{1\over2}+x^{1\over4}+1\)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x-1=(\sqrt[4]{x}-1)\(x^{3\over4}+x^{1\over2}+x^{1\over4}+1\)[/tex3]

[tex3]\sqrt[4]{x}-1={x-1\over x^{3\over4}+x^{1\over2}+x^{1\over4}+1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt[4]{x}-1={x-1\over x^{3\over4}+x^{1\over2}+x^{1\over4}+1}[/tex3]

Analogamente, temos:
[tex3]u^3-1=(u-1)(u^2+u+1)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]u^3-1=(u-1)(u^2+u+1)[/tex3]

Fazendo [tex3]u=\sqrt[3]{x}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]u=\sqrt[3]{x}[/tex3]

:
[tex3]x-1=(\sqrt[3]{x}-1)\(x^{2\over3}+x^{1\over3}+1\)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x-1=(\sqrt[3]{x}-1)\(x^{2\over3}+x^{1\over3}+1\)[/tex3]

[tex3]\sqrt[3]{x}-1={x-1\over x^{2\over3}+x^{1\over3}+1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt[3]{x}-1={x-1\over x^{2\over3}+x^{1\over3}+1}[/tex3]

Assim, temos:
[tex3]L=\lim_{x\rightarrow 1}\left(\frac{\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt[4]{x}-1}\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]L=\lim_{x\rightarrow 1}\left(\frac{\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt[4]{x}-1}\right)[/tex3]

[tex3]L=\lim_{x\rightarrow 1}\left(\frac{{x-1\over x^{2\over3}+x^{1\over3}+1}}{{x-1\over x^{3\over4}+x^{1\over2}+x^{1\over4}+1}}\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]L=\lim_{x\rightarrow 1}\left(\frac{{x-1\over x^{2\over3}+x^{1\over3}+1}}{{x-1\over x^{3\over4}+x^{1\over2}+x^{1\over4}+1}}\right)[/tex3]

[tex3]L=\lim_{x\rightarrow 1}\left(\frac{x^{3\over4}+x^{1\over2}+x^{1\over4}+1}{ x^{2\over3}+x^{1\over3}+1}\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]L=\lim_{x\rightarrow 1}\left(\frac{x^{3\over4}+x^{1\over2}+x^{1\over4}+1}{ x^{2\over3}+x^{1\over3}+1}\right)[/tex3]

[tex3]L=\frac{1^{3\over4}+1^{1\over2}+1^{1\over4}+1}{ 1^{2\over3}+1^{1\over3}+1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]L=\frac{1^{3\over4}+1^{1\over2}+1^{1\over4}+1}{ 1^{2\over3}+1^{1\over3}+1}[/tex3]

[tex3]L=\frac{4}{ 3}[/tex3]