Ensino Superior ⇒ Integrais Multiplas Tópico resolvido

[matheuszurra]

Usando coordenadas esféricas, determine o volume do sólido que está acima do plano z = 2 [tex3]\sqrt{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{3}[/tex3]

e abaixo da esfera x² + y² + z² = 16

Resposta

---

88π / 3

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução:

Primeiramente façamos a intersecção do plano z = 2√3 com a esfera x² + y² + z² = 16, vem;

x² + y² + ( 2√3 )^2 = 16 → x² + y² = 4( projeção do sólido ( calota esférica ) no plano xy).

O esboço do sólido (calota esférica ) está representado na figura que se segue

16462734777953307295284454243499.jpg (30.13 KiB) Exibido 543 vezes

Olhando para o triângulo retângulo 0TP , temos que:

[tex3]tg(\phi ) = \frac{2}{2\sqrt{3}} → tg(\phi ) = \frac{\sqrt{3}}{3} → \phi = \frac{π}{6} [/tex3]

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[tex3]tg(\phi ) = \frac{2}{2\sqrt{3}} → tg(\phi ) = \frac{\sqrt{3}}{3} → \phi = \frac{π}{6} [/tex3]

, daí 0 ≤ Φ ≤ π/6.

A esfera x² + y² + z² = 16 em coordenadas esféricas é :

x² + y² + z² = 16 → ρ² = 16 → ρ = 4.

O plano z = 2√3 em coordenadas esféricas é:

z = 2√3 → ρ.cos(Φ) = 2√3 → [tex3]\rho = \frac{2\sqrt{3}}{cos (\phi )}[/tex3]

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[tex3]\rho = \frac{2\sqrt{3}}{cos (\phi )}[/tex3]

ou ρ = 2√(3).sec(Φ) , logo [tex3]\frac{2\sqrt{3}}{cos (\phi )} ≤ \rho ≤ 4[/tex3]

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[tex3]\frac{2\sqrt{3}}{cos (\phi )} ≤ \rho ≤ 4[/tex3]

Mais uma vez , analisando o desenho, a projeção do sólido ( calota esférica ) sobre o plano xy é o círculo x² + y² = 4 , como temos uma volta completa , então 0 ≤ θ ≤ 2π , segue-se que os limites de integrações são dados por :

[tex3]\begin{cases}
\frac{2\sqrt{3}}{cos (\phi )} ≤ \rho ≤ 4 \\
0 ≤ \phi ≤ \frac{π}{6} \\
0 ≤ \theta ≤ 2π
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
\frac{2\sqrt{3}}{cos (\phi )} ≤ \rho ≤ 4 \\
0 ≤ \phi ≤ \frac{π}{6} \\
0 ≤ \theta ≤ 2π
\end{cases}[/tex3]

Assim ,

[tex3]V = \int\limits_{0}^{2π}\int\limits_{0}^{\frac{π}{6}}\int\limits_{\frac{2\sqrt{3}}{cos (\phi )}}^{4}\rho ^2.sen(\phi ) \ d\rho d\phi d\theta [/tex3]

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[tex3]V = \int\limits_{0}^{2π}\int\limits_{0}^{\frac{π}{6}}\int\limits_{\frac{2\sqrt{3}}{cos (\phi )}}^{4}\rho ^2.sen(\phi ) \ d\rho d\phi d\theta [/tex3]

[tex3]V = \int\limits_{0}^{2π}\int\limits_{0}^{\frac{π}{6}}[\frac{\rho ^3}{3}]_{\frac{2\sqrt{3}}{cos (\phi )}}^{4}sen(\phi ) \ d\phi d\theta [/tex3]

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[tex3]V = \int\limits_{0}^{2π}\int\limits_{0}^{\frac{π}{6}}[\frac{\rho ^3}{3}]_{\frac{2\sqrt{3}}{cos (\phi )}}^{4}sen(\phi ) \ d\phi d\theta [/tex3]

[tex3]V = \frac{1}{3}.\int\limits_{0}^{2π}\int\limits_{0}^{\frac{π}{6}}\left[64sen(\phi ) - {\frac{24\sqrt{3}}{cos^3 (\phi )}}sen(\phi ) \right] \ d\phi d\theta [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]V = \frac{1}{3}.\int\limits_{0}^{2π}\int\limits_{0}^{\frac{π}{6}}\left[64sen(\phi ) - {\frac{24\sqrt{3}}{cos^3 (\phi )}}sen(\phi ) \right] \ d\phi d\theta [/tex3]

Obs.1 Para resolver a integral [tex3]\int\limits_{}^{}\frac{sen (\phi )}{cos^3(\phi )}d\phi [/tex3] , utilize a substituição u = cos ([tex3]\phi )[/tex3]

[tex3]V = \frac{1}{3}.\int\limits_{0}^{2π}\left[ - 64cos(\phi ) - {\frac{24\sqrt{3}}{2.cos^2 (\phi )}} \right]_0^{\frac{π}{6}} d\theta [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]V = \frac{1}{3}.\int\limits_{0}^{2π}\left[ - 64cos(\phi ) - {\frac{24\sqrt{3}}{2.cos^2 (\phi )}} \right]_0^{\frac{π}{6}} d\theta [/tex3]

[tex3]V = \frac{1}{3}.\int\limits_{0}^{2π}(64-36
\sqrt{3} ) \ d\theta [/tex3]

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[tex3]V = \frac{1}{3}.\int\limits_{0}^{2π}(64-36
\sqrt{3} ) \ d\theta [/tex3]

[tex3]V = \frac{1}{3}.4.( 16 - 9\sqrt{3} ).[\theta ]_0^{2π}[/tex3]

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[tex3]V = \frac{1}{3}.4.( 16 - 9\sqrt{3} ).[\theta ]_0^{2π}[/tex3]

Portanto,

[tex3]V = \frac{8π}{3}.( 16 - 9\sqrt{3} )u.v.[/tex3]

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[tex3]V = \frac{8π}{3}.( 16 - 9\sqrt{3} )u.v.[/tex3]

Obs.2
[tex3]\begin{cases}
x = \rho .sen (\phi ).cos (\theta ) \\
y = \rho .sen (\phi ).sen (\theta ) \\
z = \rho .cos (\phi ) \\
dV = dxdydz = \rho^2.sen(\phi )d\rho d\phi d\theta \\
x^2 + y^2 + z^2 = \rho ^2
\end{cases}[/tex3]





Em coordenadas cilíndricas:

[tex3]\begin{cases}
2\sqrt{3} ≤ z ≤ \sqrt{16 - r^2} \\
0 ≤ r ≤ 2 \\
0 ≤ \theta ≤ 2π\\
dV = dzdydx = rdzdrd\theta \\
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
2\sqrt{3} ≤ z ≤ \sqrt{16 - r^2} \\
0 ≤ r ≤ 2 \\
0 ≤ \theta ≤ 2π\\
dV = dzdydx = rdzdrd\theta \\
\end{cases}[/tex3]

Logo,

[tex3]V = \int\limits_{0}^{2π}\int\limits_{0}^{2}\int\limits_{2\sqrt{3}}^{\sqrt{16-r^2}}r \ dzdrd\theta = \frac{8π}{3}.( 16 - 9\sqrt{3} ) u.v.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]V = \int\limits_{0}^{2π}\int\limits_{0}^{2}\int\limits_{2\sqrt{3}}^{\sqrt{16-r^2}}r \ dzdrd\theta = \frac{8π}{3}.( 16 - 9\sqrt{3} ) u.v.[/tex3]

Em coordenadas retangulares:

{ - 2 ≤ x ≤ 2
{ - √( 4 - x² ) ≤ y ≤ √( 4 - x² )
{ 2√3 ≤ z ≤ √( 16 - x² - y² )

Logo,

[tex3]V = \int\limits_{-2}^{2}\int\limits_{-\sqrt{4 - x^2}}^{\sqrt{4-x^2}}\int\limits_{2\sqrt{3}}^{\sqrt{16-x^2 - y^2}} \ dzdydx = \frac{8π}{3}.( 16 - 9\sqrt{3} ) u.v.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]V = \int\limits_{-2}^{2}\int\limits_{-\sqrt{4 - x^2}}^{\sqrt{4-x^2}}\int\limits_{2\sqrt{3}}^{\sqrt{16-x^2 - y^2}} \ dzdydx = \frac{8π}{3}.( 16 - 9\sqrt{3} ) u.v.[/tex3]

Não tem jeito o gabarito postado por você está errado! Deve ser de uma outra questão.


Excelente estudo!