Ensino Superior ⇒ Cálculo 1 - 6 (ajuda no exercício de uma lista)

[fandrade]

Considere a função
f(x) = (x³) / (x − 2).
a) Determine os intervalos de crescimento/decrescimento de f(x) bem como os
pontos de máximo/mínimo de f(x) (se existirem).
b) Encontre os pontos de inflexão de f(x) e determine os intervalos em que
a função é côncava para baixo ou para cima.
c) Encontre as assíntotas horizontais e verticais de f(x) (se existirem).

[rcompany]

[tex3]
f(x)=\dfrac{x^3}{x-2}\\
\mathcal{D}_f=]-\infty;2[\cup]2;+\infty[\\[24pt]

f'(x)=\dfrac{3x^2(x-2)-x^3}{(x-2)^2}=\dfrac{2x^2(x-3)}{(x-2)^2}\\
\text{e então :}\\
x<3\implies f'(x)<0\\
x>3\implies f'(x)>0\\
f'(3)=0\\[24pt]
f''(x)=\dfrac{[4x(x-3)+2x^2](x-2)^2-4x^2(x-3)(x-2)}{(x-2)^4}=\dfrac{2x(x^2-6x+12)}{(x-2)^3}\\
\forall x \in \mathbb{R}, x^2-6x+12>0\\
\text{e entaõ:}\\
x<0\implies f''(x)>0\\
f''(0)=0\\
0 < x < 2\implies f''(x)<0\\
2 < x\implies f''(x)>0\\[24pt]

\begin{array}{c|ccccr|c|lcccr|}
x&-\infty&&0&&&2&&&3&&+\infty\\\hline
f''(x)&2&+&0&-&-\infty&nd&+\infty&+&18&+&2\\\hline
f'(x)&-\infty&-&0&-&-\infty&nd&-\infty&-&0&+&+\infty\\\hline
f(x)&+\infty&\searrow&0&\searrow&-\infty&nd&+\infty&\searrow&27&\nearrow&+\infty\\\hline
\end{array} \\[24pt]

f\text{ tem um mínimo local em }x=3\\
f\text{ tem um ponto de inflexão em }x=0\\
\text{Concavidade para cima para }x<0,\text{ e para baixo para }x>0\\
f\text{ estritamente decrescente em }]-\infty;2[\text{ e }]2;3]\\
f\text{ estritamente crescente em }[3;+\infty[\\[12pt]
\text{Sejam }a,b\in\mathbb{R}:\\
\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)-ax-b=0\iff \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x^3-ax^2+(2a-b)x+2b}{x-2}=0\iff \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x^3}{x}=0\quad\text{impossível}\\[12pt]
\text{e idem para }x\longrightarrow-\infty:\,f\text{ não tem asintotas em }+\infty\text{ ou }-\infty\\[12pt]
\lim\limits_{x\to2^-}f(x)=-\infty\implies x=2 \text{ é asintota vertical de }f\text{ quando }x\longrightarrow 2^-\\

\lim\limits_{x\to2^+}f(x)=+\infty\implies x=2 \text{ é asintota vertical de }f\text{ quando }x\longrightarrow 2^+\\
[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]
f(x)=\dfrac{x^3}{x-2}\\
\mathcal{D}_f=]-\infty;2[\cup]2;+\infty[\\[24pt]

f'(x)=\dfrac{3x^2(x-2)-x^3}{(x-2)^2}=\dfrac{2x^2(x-3)}{(x-2)^2}\\
\text{e então :}\\
x<3\implies f'(x)<0\\
x>3\implies f'(x)>0\\
f'(3)=0\\[24pt]
f''(x)=\dfrac{[4x(x-3)+2x^2](x-2)^2-4x^2(x-3)(x-2)}{(x-2)^4}=\dfrac{2x(x^2-6x+12)}{(x-2)^3}\\
\forall x \in \mathbb{R}, x^2-6x+12>0\\
\text{e entaõ:}\\
x<0\implies f''(x)>0\\
f''(0)=0\\
0 < x < 2\implies f''(x)<0\\
2 < x\implies f''(x)>0\\[24pt]

\begin{array}{c|ccccr|c|lcccr|}
x&-\infty&&0&&&2&&&3&&+\infty\\\hline
f''(x)&2&+&0&-&-\infty&nd&+\infty&+&18&+&2\\\hline
f'(x)&-\infty&-&0&-&-\infty&nd&-\infty&-&0&+&+\infty\\\hline
f(x)&+\infty&\searrow&0&\searrow&-\infty&nd&+\infty&\searrow&27&\nearrow&+\infty\\\hline
\end{array} \\[24pt]

f\text{ tem um mínimo local em }x=3\\
f\text{ tem um ponto de inflexão em }x=0\\
\text{Concavidade para cima para }x<0,\text{ e para baixo para }x>0\\
f\text{ estritamente decrescente em }]-\infty;2[\text{ e }]2;3]\\
f\text{ estritamente crescente em }[3;+\infty[\\[12pt]
\text{Sejam }a,b\in\mathbb{R}:\\
\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)-ax-b=0\iff \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x^3-ax^2+(2a-b)x+2b}{x-2}=0\iff \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x^3}{x}=0\quad\text{impossível}\\[12pt]
\text{e idem para }x\longrightarrow-\infty:\,f\text{ não tem asintotas em }+\infty\text{ ou }-\infty\\[12pt]
\lim\limits_{x\to2^-}f(x)=-\infty\implies x=2 \text{ é asintota vertical de }f\text{ quando }x\longrightarrow 2^-\\

\lim\limits_{x\to2^+}f(x)=+\infty\implies x=2 \text{ é asintota vertical de }f\text{ quando }x\longrightarrow 2^+\\
[/tex3]

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