Ensino Superior ⇒ Cálculo 1 - 1 (ajuda no exercício de uma lista)

[fandrade]

Dada a equação:

2(x² + y²)² = 25(x² − y²),

encontre os pontos em que a reta tangente é horizontal.

[rcompany]

[tex3]
\begin{align}
2(x^2+y^2)^2=25(x^2-y^2)&\iff2x^4+2y^4+4x^2y^2-25x^2+25y^2=0\\&\iff 2y^4+(4x^2+25)y^2+(2x^4-25x^2)=0\\
&\iff \left\{\begin{array}{}y^2=\dfrac{-4x^2\!\!-\!\!25\!\!-\!\!\sqrt{(4x^2\!\!+\!\!25)^2\!\!-\!\!8(2x^4\!-\!25x^2)}}{4}=\dfrac{-4x^2\!\!-\!\!25\!\!-\!\!\sqrt{16x^4\!\!-\!\!16x^4\!\!+\!\!200x^2\!\!+\!\!200x^2\!\!+\!\!25^2}}{4}=\dfrac{-4x^2\!\!-\!\!25\!\!-\!\!5\!\sqrt{16x^2+25}}{4}\quad\text{impossível}\\
\text{ou}\\
y^2=\dfrac{-4x^2-25+5\sqrt{16x^2+25}}{4}\end{array}\right.\\
&\iff y=\dfrac{\sqrt{-4x^2-25+5\sqrt{16x^2+25}}}{2}\text{ ou }y=-\dfrac{\sqrt{-4x^2-25+5\sqrt{16x^2+25}}}{2}

\end{align}\\[24pt]
\text{A tangente é horizontal em }x\text{ tal que }\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=0.\text{ Nota-se que }y\text{ não é derivável em }0\\[24pt]
\text{Para }y\geqslant0:\\
\begin{array}{}
\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=0&\iff\dfrac{1}{4\sqrt{-4x^2-25+5\sqrt{16x^2+25}}}\cdot \left(-8x+5\dfrac{16x}{\sqrt{16x^2+25}}\right)=0\\
&\iff 8x(10-\sqrt{16x^2+25})=0\\
&\iff16x^2+25=100\quad\text{já que }x\neq0\\
&\iff x=\dfrac{5\sqrt{3}}{4}\text{ ou }x=-\dfrac{5\sqrt{3}}{4}
\end{array}\\[48pt]
\text{Para }y\leqslant0,\text{ obtemos o mesmo resultado}
[/tex3]

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[tex3]
\begin{align}
2(x^2+y^2)^2=25(x^2-y^2)&\iff2x^4+2y^4+4x^2y^2-25x^2+25y^2=0\\&\iff 2y^4+(4x^2+25)y^2+(2x^4-25x^2)=0\\
&\iff \left\{\begin{array}{}y^2=\dfrac{-4x^2\!\!-\!\!25\!\!-\!\!\sqrt{(4x^2\!\!+\!\!25)^2\!\!-\!\!8(2x^4\!-\!25x^2)}}{4}=\dfrac{-4x^2\!\!-\!\!25\!\!-\!\!\sqrt{16x^4\!\!-\!\!16x^4\!\!+\!\!200x^2\!\!+\!\!200x^2\!\!+\!\!25^2}}{4}=\dfrac{-4x^2\!\!-\!\!25\!\!-\!\!5\!\sqrt{16x^2+25}}{4}\quad\text{impossível}\\
\text{ou}\\
y^2=\dfrac{-4x^2-25+5\sqrt{16x^2+25}}{4}\end{array}\right.\\
&\iff y=\dfrac{\sqrt{-4x^2-25+5\sqrt{16x^2+25}}}{2}\text{ ou }y=-\dfrac{\sqrt{-4x^2-25+5\sqrt{16x^2+25}}}{2}

\end{align}\\[24pt]
\text{A tangente é horizontal em }x\text{ tal que }\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=0.\text{ Nota-se que }y\text{ não é derivável em }0\\[24pt]
\text{Para }y\geqslant0:\\
\begin{array}{}
\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=0&\iff\dfrac{1}{4\sqrt{-4x^2-25+5\sqrt{16x^2+25}}}\cdot \left(-8x+5\dfrac{16x}{\sqrt{16x^2+25}}\right)=0\\
&\iff 8x(10-\sqrt{16x^2+25})=0\\
&\iff16x^2+25=100\quad\text{já que }x\neq0\\
&\iff x=\dfrac{5\sqrt{3}}{4}\text{ ou }x=-\dfrac{5\sqrt{3}}{4}
\end{array}\\[48pt]
\text{Para }y\leqslant0,\text{ obtemos o mesmo resultado}
[/tex3]

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