Ensino Superior ⇒ Equações diferenciais
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Out 2021
18
08:37
Equações diferenciais
Bom dia! Preciso de ajuda nessas 3 questões sobre Equações Diferenciais, quem puder me auxiliar agradeço desde já.
- Anexos
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Out 2021
22
22:28
Re: Equações diferenciais
1ª Questão:
Para resolver a questão, utilizaremos o seguinte teorema:
Vamos então deixar a EDO da forma do teorema:
[tex3](4-t^2)y'+2ty=3t^2[/tex3]
[tex3]y'+{2t\over 4-t^2}y={3t^2\over 4-t^2}[/tex3]
Temos [tex3]P(t)={2t\over 4-t^2}[/tex3] e [tex3]f(t)={3t^2\over 4-t^2}[/tex3] . Sabemos que funções racionais são contínuas nos reais, exceto nas raízes do denominador. Como ambos possuem mesmo denominador, temos:
[tex3]4-t^2=0[/tex3]
[tex3]t^2=4[/tex3]
[tex3]t=\pm2[/tex3] .
Portanto, para qualquer intervalo aberto que não contenha [tex3]\{-2\},\{2\}[/tex3] e que contenha [tex3]t=1[/tex3], o PVI terá solução e esta será única. Um exemplo de intervalo seria [tex3]\(-{3\over2},{3\over2}\)[/tex3].
Para resolver a questão, utilizaremos o seguinte teorema:
Seja o PVI [tex3]\begin{cases}y'+P(x)y=f(x)\\y(x_0)=y_0\end{cases}[/tex3]. Se [tex3]P(x),f(x)[/tex3] forem contínuas num intervalo [tex3](a,b)[/tex3], sendo [tex3]x_0\in (a,b)[/tex3], então a solução para o PVI existe e é única.
Vamos então deixar a EDO da forma do teorema:
[tex3](4-t^2)y'+2ty=3t^2[/tex3]
[tex3]y'+{2t\over 4-t^2}y={3t^2\over 4-t^2}[/tex3]
Temos [tex3]P(t)={2t\over 4-t^2}[/tex3] e [tex3]f(t)={3t^2\over 4-t^2}[/tex3] . Sabemos que funções racionais são contínuas nos reais, exceto nas raízes do denominador. Como ambos possuem mesmo denominador, temos:
[tex3]4-t^2=0[/tex3]
[tex3]t^2=4[/tex3]
[tex3]t=\pm2[/tex3] .
Portanto, para qualquer intervalo aberto que não contenha [tex3]\{-2\},\{2\}[/tex3] e que contenha [tex3]t=1[/tex3], o PVI terá solução e esta será única. Um exemplo de intervalo seria [tex3]\(-{3\over2},{3\over2}\)[/tex3].
[tex3]\color{YellowOrange}\textbf{Não importa o quanto se esforce ou evolua, você sempre estará abaixo do Sol}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
Out 2021
22
22:45
Re: Equações diferenciais
3ª Questão
Para resolver essa questão, utilizemos o seguinte resultado:
Vamos deixar a EDO no formato do teorema:
[tex3]y'-y=e^{2x}-1[/tex3]
Temos [tex3]P(x)=-1[/tex3] e [tex3]f(x)=e^{2x}-1[/tex3] , logo:
[tex3]\mu(x)=\exp\(\int P(x)dx\)[/tex3]
[tex3]\mu(x)=\exp\(-\int dx\)[/tex3]
[tex3]\mu(x)=\exp\(-x\)=e^{-x}[/tex3]
Assim, temos:
[tex3]y={1\over \mu(x)}\(\int\mu(x)f(x)dx+C\)[/tex3]
[tex3]y=e^{x}\(\int e^{-x}(e^{2x}-1)dx+C\)[/tex3]
[tex3]y=e^{x}\(\int (e^{x}-e^{-x})dx+C\)[/tex3]
[tex3]y=e^{x}\(e^x+e^{-x}+C\)[/tex3]
[tex3]y=e^{2x}+1+Ce^{x}[/tex3]
Para resolver essa questão, utilizemos o seguinte resultado:
A solução da equação [tex3]y'+P(x)y=f(x)[/tex3] é dada por [tex3]y={1\over \mu(x)}\(\int\mu(x)f(x)dx+C\)[/tex3], onde [tex3]\mu(x)=\exp\(\int P(x)dx\)[/tex3].
Vamos deixar a EDO no formato do teorema:
[tex3]y'-y=e^{2x}-1[/tex3]
Temos [tex3]P(x)=-1[/tex3] e [tex3]f(x)=e^{2x}-1[/tex3] , logo:
[tex3]\mu(x)=\exp\(\int P(x)dx\)[/tex3]
[tex3]\mu(x)=\exp\(-\int dx\)[/tex3]
[tex3]\mu(x)=\exp\(-x\)=e^{-x}[/tex3]
Assim, temos:
[tex3]y={1\over \mu(x)}\(\int\mu(x)f(x)dx+C\)[/tex3]
[tex3]y=e^{x}\(\int e^{-x}(e^{2x}-1)dx+C\)[/tex3]
[tex3]y=e^{x}\(\int (e^{x}-e^{-x})dx+C\)[/tex3]
[tex3]y=e^{x}\(e^x+e^{-x}+C\)[/tex3]
[tex3]y=e^{2x}+1+Ce^{x}[/tex3]
[tex3]\color{YellowOrange}\textbf{Não importa o quanto se esforce ou evolua, você sempre estará abaixo do Sol}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
Out 2021
22
23:54
Re: Equações diferenciais
4ª Questão
Primeiro, vejamos o Método de Euler:
Pelo que foi descrito acima, temos que [tex3]f(t,y)={5}-3\sqrt{y}[/tex3] . Assim, com [tex3]h=0,1[/tex3] , [tex3]t_0=0[/tex3] e [tex3]y_0=2[/tex3] , temos:
Primeiro, vejamos o Método de Euler:
Seja o PVI [tex3]\begin{cases}
y'=f(x,y(x)) \\
y(x_0)=y_0
\end{cases}[/tex3]. Para um certo valor [tex3]h[/tex3], definimos a sequência [tex3]\begin{cases}
x_{n+1}=x_0+nh \\
y_{n+1}=y_n+hf(x_n,y_n)
\end{cases}[/tex3]. Temos que a [tex3]y_n\approx y(x_n)[/tex3], sendo [tex3]y(x)[/tex3] a solução do PVI.
Pelo que foi descrito acima, temos que [tex3]f(t,y)={5}-3\sqrt{y}[/tex3] . Assim, com [tex3]h=0,1[/tex3] , [tex3]t_0=0[/tex3] e [tex3]y_0=2[/tex3] , temos:
- MetoEuler.png (92.5 KiB) Exibido 2312 vezes
[tex3]\color{YellowOrange}\textbf{Não importa o quanto se esforce ou evolua, você sempre estará abaixo do Sol}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
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