Ensino Superior ⇒ Equações diferenciais

[Savios]

resolva a equação diferencial dy/dx= e^2x+y-1

[AnthonyC]

[tex3]{dy\over dx}=e^{2x}+y-1[/tex3]

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[tex3]{dy\over dx}=e^{2x}+y-1[/tex3]

[tex3]{dy\over dx}-y=e^{2x}-1[/tex3]

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[tex3]{dy\over dx}-y=e^{2x}-1[/tex3]

Podemos resolver esta equação usando o método de equação de primeira ordem, ou seja, uma equação da forma [tex3]y'+a(x)y=b(x)[/tex3]

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[tex3]y'+a(x)y=b(x)[/tex3]

. Primeiro, achamos o fator integrante:
[tex3]\mu(x)=\exp\(\int a(x)dx\)[/tex3]

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[tex3]\mu(x)=\exp\(\int a(x)dx\)[/tex3]

, onde [tex3]\exp(m)=e^m[/tex3]

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[tex3]\exp(m)=e^m[/tex3]

. Podemos ver que [tex3]a(x)=-1[/tex3]

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[tex3]a(x)=-1[/tex3]

, logo:
[tex3]\mu(x)=\exp\(\int-1dx\)[/tex3]

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[tex3]\mu(x)=\exp\(\int-1dx\)[/tex3]

[tex3]\mu(x)=\exp(-x)[/tex3]

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[tex3]\mu(x)=\exp(-x)[/tex3]

[tex3]\mu(x)=e^{-x}[/tex3]

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[tex3]\mu(x)=e^{-x}[/tex3]

A solução da EDO será dada por:
[tex3]y={1\over\mu(x)}\[\int\mu(x)b(x)dx\][/tex3]

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[tex3]y={1\over\mu(x)}\[\int\mu(x)b(x)dx\][/tex3]

[tex3]y={1\over e^{-x}}\[\int e^{-x}\(e^{2x}-1\)dx\][/tex3]

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[tex3]y={1\over e^{-x}}\[\int e^{-x}\(e^{2x}-1\)dx\][/tex3]

[tex3]y={1\over e^{-x}}\[\int \(e^{x}-e^{-x}\)dx\][/tex3]

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[tex3]y={1\over e^{-x}}\[\int \(e^{x}-e^{-x}\)dx\][/tex3]

[tex3]y={1\over e^{-x}}\[e^{x}+e^{-x}+C\][/tex3]

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[tex3]y={1\over e^{-x}}\[e^{x}+e^{-x}+C\][/tex3]

[tex3]y=e^{2x}+1+Ce^{x}[/tex3]