Ensino Superior ⇒ Cálculo 1 Tópico resolvido

[Rayani]

Seja [tex3]f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} [/tex3]

derivável, tal que
[tex3](i) \lim_{x\rightarrow+ \infty} f(x)=0 [/tex3]

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[tex3](i) \lim_{x\rightarrow+ \infty} f(x)=0 [/tex3]

, [tex3]\lim_{x\rightarrow+ \infty} g(x)=2[/tex3]

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[tex3]\lim_{x\rightarrow+ \infty} g(x)=2[/tex3]

,
[tex3](ii) \lim_{x\rightarrow+ \infty} f’(x)e^x= 1[/tex3]

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[tex3](ii) \lim_{x\rightarrow+ \infty} f’(x)e^x= 1[/tex3]

.

Se [tex3]L= \lim_{x\rightarrow+ \infty} \left ( 1+4f(5x)\right )^{g(x)e^{5x}}[/tex3]

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[tex3]L= \lim_{x\rightarrow+ \infty} \left ( 1+4f(5x)\right )^{g(x)e^{5x}}[/tex3]

, determine o valor de [tex3]ln(L)[/tex3]

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[tex3]ln(L)[/tex3]

.

[AnthonyC]

[tex3]L= \lim_{x\rightarrow \infty} \left ( 1+4f(5x)\right )^{g(x)e^{5x}}[/tex3]

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[tex3]L= \lim_{x\rightarrow \infty} \left ( 1+4f(5x)\right )^{g(x)e^{5x}}[/tex3]

[tex3]\ln(L)= \ln\(\lim_{x\rightarrow \infty} \left ( 1+4f(5x)\right )^{g(x)e^{5x}}\)[/tex3]

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[tex3]\ln(L)= \ln\(\lim_{x\rightarrow \infty} \left ( 1+4f(5x)\right )^{g(x)e^{5x}}\)[/tex3]

Como [tex3]\ln(x)[/tex3]

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[tex3]\ln(x)[/tex3]

é uma função contínua, podemos inverter a ordem da função e limite:
[tex3]\ln(L)= \lim_{x\rightarrow \infty}\ln\( \left ( 1+4f(5x)\right )^{g(x)e^{5x}}\)[/tex3]

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[tex3]\ln(L)= \lim_{x\rightarrow \infty}\ln\( \left ( 1+4f(5x)\right )^{g(x)e^{5x}}\)[/tex3]

[tex3]\ln(L)= \lim_{x\rightarrow \infty}{g(x)e^{5x}}\cdot\ln\( \left ( 1+4f(5x)\right )\)[/tex3]

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[tex3]\ln(L)= \lim_{x\rightarrow \infty}{g(x)e^{5x}}\cdot\ln\( \left ( 1+4f(5x)\right )\)[/tex3]

[tex3]\ln(L)= \lim_{x\rightarrow \infty}{g(x)\cdot\lim_{x\rightarrow+ \infty}e^{5x}}\ln\( \left ( 1+4f(5x)\right )\)[/tex3]

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[tex3]\ln(L)= \lim_{x\rightarrow \infty}{g(x)\cdot\lim_{x\rightarrow+ \infty}e^{5x}}\ln\( \left ( 1+4f(5x)\right )\)[/tex3]

[tex3]\ln(L)= 2 \cdot{\lim_{x\rightarrow \infty}e^{5x}}\ln\( \left ( 1+4f(5x)\right )\)[/tex3]

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[tex3]\ln(L)= 2 \cdot{\lim_{x\rightarrow \infty}e^{5x}}\ln\( \left ( 1+4f(5x)\right )\)[/tex3]

Quando [tex3]x\rightarrow\infty[/tex3]

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[tex3]x\rightarrow\infty[/tex3]

, [tex3]e^{5x}\rightarrow \infty [/tex3]

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[tex3]e^{5x}\rightarrow \infty [/tex3]

e [tex3]\ln\( \left ( 1+4f(5x)\right )\)\rightarrow\ln(1)=0[/tex3]

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[tex3]\ln\( \left ( 1+4f(5x)\right )\)\rightarrow\ln(1)=0[/tex3]

. Como temos uma situação do tipo infinito vezes zero, façamos a seguinte modificação:
[tex3]\ln(L)= 2 \cdot{\lim_{x\rightarrow \infty}}{\ln\( \left ( 1+4f(5x)\right )\)\over e^{-5x}}[/tex3]

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[tex3]\ln(L)= 2 \cdot{\lim_{x\rightarrow \infty}}{\ln\( \left ( 1+4f(5x)\right )\)\over e^{-5x}}[/tex3]

Agora, temos uma indeterminação do tipo [tex3]{0\over 0}[/tex3]

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[tex3]{0\over 0}[/tex3]

. Assim, aplicamos a Regra de L'Hospital:
[tex3]\ln(L)= 2 \cdot{\lim_{x\rightarrow \infty}}{{d\over dx}\[\ln\( \left ( 1+4f(5x)\right )\)\]\over {d\over dx}\[e^{-5x}\]}[/tex3]

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[tex3]\ln(L)= 2 \cdot{\lim_{x\rightarrow \infty}}{{d\over dx}\[\ln\( \left ( 1+4f(5x)\right )\)\]\over {d\over dx}\[e^{-5x}\]}[/tex3]

[tex3]\ln(L)= 2 \cdot{\lim_{x\rightarrow \infty}}{{20f'(5x)\over1+4f(5x)}\over-5e^{-5x}}[/tex3]

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[tex3]\ln(L)= 2 \cdot{\lim_{x\rightarrow \infty}}{{20f'(5x)\over1+4f(5x)}\over-5e^{-5x}}[/tex3]

[tex3]\ln(L)= 2 \cdot{\lim_{x\rightarrow \infty}}{{-4f'(5x)e^{5x}\over1+4f(5x)}}[/tex3]

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[tex3]\ln(L)= 2 \cdot{\lim_{x\rightarrow \infty}}{{-4f'(5x)e^{5x}\over1+4f(5x)}}[/tex3]

[tex3]\ln(L)= 2 \cdot{{{\lim_{x\rightarrow \infty}}[-4f'(5x)e^{5x}]\over{\lim_{x\rightarrow \infty}}[1+4f(5x)]}}[/tex3]

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[tex3]\ln(L)= 2 \cdot{{{\lim_{x\rightarrow \infty}}[-4f'(5x)e^{5x}]\over{\lim_{x\rightarrow \infty}}[1+4f(5x)]}}[/tex3]

[tex3]\ln(L)= -8 \cdot{{{\lim_{x\rightarrow \infty}}[f'(5x)e^{5x}]\over\lim_{x\rightarrow \infty}1+\lim_{x\rightarrow \infty}4f(5x)}}[/tex3]

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[tex3]\ln(L)= -8 \cdot{{{\lim_{x\rightarrow \infty}}[f'(5x)e^{5x}]\over\lim_{x\rightarrow \infty}1+\lim_{x\rightarrow \infty}4f(5x)}}[/tex3]

Sabemos do enunciado que [tex3]\lim_{x\rightarrow \infty}f'(x)e^x=1[/tex3]

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[tex3]\lim_{x\rightarrow \infty}f'(x)e^x=1[/tex3]

. Substituindo [tex3]x[/tex3]

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[tex3]x[/tex3]

por 5 [tex3]x[/tex3]

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[tex3]x[/tex3]

, temos que [tex3]\lim_{x\rightarrow \infty}f'(5x)e^{5x}=1[/tex3]

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[tex3]\lim_{x\rightarrow \infty}f'(5x)e^{5x}=1[/tex3]

. Também temos que o limite de [tex3]f(x)[/tex3]

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[tex3]f(x)[/tex3]

é zero. Logo:
[tex3]\ln(L)= -8 \cdot{1\over1+0}[/tex3]

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[tex3]\ln(L)= -8 \cdot{1\over1+0}[/tex3]

[tex3]\ln(L)= -8[/tex3]