Ensino Superior

Mensagem não lidapor **Jota03** » 18 Out 2021, 00:56 · Mensagem não lida por **Jota03** » 18 Out 2021, 00:56

Seja R a região limitada pelas curvas [tex3]y=\frac{ \ln (x)}{ \sqrt{x}}, y=0 [/tex3] e [tex3]x=e^5[/tex3] . Seja [tex3]V[/tex3] o volume do sólido obtido pela rotação da região R ao redor do eixo x.
Se [tex3]\alpha= \frac{3V}{\pi}[/tex3] , determine o valor de [tex3]\alpha[/tex3] .

Mensagem não lidapor **AnthonyC** » 19 Out 2021, 05:33 · Mensagem não lida por **AnthonyC** » 19 Out 2021, 05:33

O volume de um sólido de revolução pode ser calculado através da seguinte fórmula:
[tex3]V=\int_a^b \pi (R^2(x)-r^2(x))dx[/tex3]
Vamos achar os raios. Primeiro, desenhamos a figura:

: ln de x sobre sqrtx.png (36.72 KiB) Exibido 188 vezes

Vemos que para um ponto qualquer do eixo [tex3]x[/tex3] , o raio da nossa região vai de zero até a curva [tex3]f(x)[/tex3] . Logo:
[tex3]R(x)=f(x)[/tex3] e [tex3]r(x)=0[/tex3]
Também temos que os limites de integração vão desde a intersecção de [tex3]f[/tex3] com o eixo [tex3]x[/tex3] , que ocorre em [tex3]x=1[/tex3] até a reta [tex3]x=e^5[/tex3] , logo:
[tex3]V=\int_1^{e^5} \pi (f^2(x)-0^2)dx[/tex3]
[tex3]V=\int_1^{e^5} \pi {\ln^2(x)\over x}dx[/tex3]
Fazendo a substituição [tex3]\begin{cases}
\ln(x)=u \\
{dx\over x}=du \\
x=1\implies u=0 \\
x=e^5\implies u=5
\end{cases}[/tex3] , temos:
[tex3]V=\int_0^{5} \pi {u^2}du[/tex3]
[tex3]V=\pi\left. {u^3\over3}\]_0^{5}[/tex3]
[tex3]V={125\pi \over3}[/tex3]
Temos:
[tex3]\alpha={3V\over\pi}[/tex3]
[tex3]\alpha={3\over\pi}\cdot{125\pi \over3}[/tex3]
[tex3]\alpha=125[/tex3]

Ensino Superior ⇒ Cálculo 1 Tópico resolvido

Cálculo 1

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