Sabendo que [tex3]\bf \cup_{A \in f}A ~~ = ~~ A_1\cup A_2 \cdots \cup A_n[/tex3]
E sabendo que [tex3]\bf \cap_{A \in f}A ~~ = ~~ A_1\cap A_2 \cdots \cap A_n[/tex3]
Prove que:
[tex3]B-\cup_{A \in f} A= \cap_{A \in f}(B-A) [/tex3]
Ensino Superior ⇒ Teoria dos conjuntos Tópico resolvido
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Out 2021
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Teoria dos conjuntos
Última edição: PeterPark (Seg 18 Out, 2021 09:39). Total de 2 vezes.
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Out 2021
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23:55
Re: Teoria dos conjuntos
1- Expandindo
[tex3]B-\cup_{A \in f}A = B -(A_1\cup A_2 \cup A_3 \cdots A_n)[/tex3]
2- Definição da diferença de conjuntos: [tex3]B-A = \{x, ~~x \in B ~~~~e~~~~~x\notin A \}[/tex3]
Aplicando em 1:
[tex3]B -(A_1\cup A_2 \cup A_3 \cdots A_n) = \{x, ~~x\in B ~~~e~~x\notin (A_1\cup A_2\cdots A_n)\}[/tex3]
3- Convertendo para Lógica proposicional:
Chamaremos [tex3]x\in B = P[/tex3]
Chamaremos [tex3]x\in A_1 = Q_1 ~~~~~~~x\in A_2=Q_2 \cdots ~~~~~~x\in A_n = Q_n[/tex3]
[tex3]\{x, ~~x\in B ~~~e~~x\notin (A_1\cup A_2\cdots A_n)\} = P \wedge \neg(Q_1 \lor Q_2 \lor \cdots Q_n) [/tex3]
[tex3]P \wedge \neg(Q_1 \lor Q_2 \lor \cdots Q_n) \hspace1cm eq:3[/tex3]
4- Lei de DeMorgan: [tex3]\neg (P\lor Q) = \neg P \wedge \neg Q[/tex3]
Aplicando em eq:3
[tex3]P \wedge \neg(Q_1 \lor Q_2 \lor \cdots Q_n) = P \wedge (\neg Q_1 \wedge \neg Q_2 \wedge \cdots \neg Q_n) [/tex3]
[tex3]\textbf P \wedge (\neg Q_1 \wedge \neg Q_2 \wedge \cdots \neg Q_n) \hspace1cm eq:4[/tex3]
5- Lei da idempotência: [tex3]P\wedge P \wedge P \wedge P = P[/tex3]
Aplicando em eq:4
[tex3]\textbf P \wedge P \wedge P \wedge P \wedge \cdots P\wedge (\neg Q_1 \wedge \neg Q_2 \wedge \cdots \neg Q_n) \hspace1cm eq:5[/tex3]
6-Lei da comutatividade e associatividade:
Aplicando na eq:5
[tex3]\textbf (P \wedge \neg Q_1)\wedge (P \wedge \neg Q_2)\wedge \cdots (P \wedge \neg Q_n) \hspace1cm eq:6[/tex3]
7- Convertendo eq:6 para conjunto novamente:
[tex3]\textbf (P \wedge \neg Q_1)\wedge (P \wedge \neg Q_2)\wedge \cdots (P \wedge \neg Q_n) = (x\in B~~e~~x\notin A_1) ~~e~~(x\in B~~e~~x\notin A_2)~~e~~\cdots (x\in B~~e~~x\notin A_n) = \\ =(B-A_1) \cap (B-A_2) \cap \cdots (B-A_n) = \cap_{i=1}^{n} (B-A_i) = \cap_{A\in f}(B-A)[/tex3]
[tex3]B-\cup_{A \in f}A = B -(A_1\cup A_2 \cup A_3 \cdots A_n)[/tex3]
2- Definição da diferença de conjuntos: [tex3]B-A = \{x, ~~x \in B ~~~~e~~~~~x\notin A \}[/tex3]
Aplicando em 1:
[tex3]B -(A_1\cup A_2 \cup A_3 \cdots A_n) = \{x, ~~x\in B ~~~e~~x\notin (A_1\cup A_2\cdots A_n)\}[/tex3]
3- Convertendo para Lógica proposicional:
Chamaremos [tex3]x\in B = P[/tex3]
Chamaremos [tex3]x\in A_1 = Q_1 ~~~~~~~x\in A_2=Q_2 \cdots ~~~~~~x\in A_n = Q_n[/tex3]
[tex3]\{x, ~~x\in B ~~~e~~x\notin (A_1\cup A_2\cdots A_n)\} = P \wedge \neg(Q_1 \lor Q_2 \lor \cdots Q_n) [/tex3]
[tex3]P \wedge \neg(Q_1 \lor Q_2 \lor \cdots Q_n) \hspace1cm eq:3[/tex3]
4- Lei de DeMorgan: [tex3]\neg (P\lor Q) = \neg P \wedge \neg Q[/tex3]
Aplicando em eq:3
[tex3]P \wedge \neg(Q_1 \lor Q_2 \lor \cdots Q_n) = P \wedge (\neg Q_1 \wedge \neg Q_2 \wedge \cdots \neg Q_n) [/tex3]
[tex3]\textbf P \wedge (\neg Q_1 \wedge \neg Q_2 \wedge \cdots \neg Q_n) \hspace1cm eq:4[/tex3]
5- Lei da idempotência: [tex3]P\wedge P \wedge P \wedge P = P[/tex3]
Aplicando em eq:4
[tex3]\textbf P \wedge P \wedge P \wedge P \wedge \cdots P\wedge (\neg Q_1 \wedge \neg Q_2 \wedge \cdots \neg Q_n) \hspace1cm eq:5[/tex3]
6-Lei da comutatividade e associatividade:
Aplicando na eq:5
[tex3]\textbf (P \wedge \neg Q_1)\wedge (P \wedge \neg Q_2)\wedge \cdots (P \wedge \neg Q_n) \hspace1cm eq:6[/tex3]
7- Convertendo eq:6 para conjunto novamente:
[tex3]\textbf (P \wedge \neg Q_1)\wedge (P \wedge \neg Q_2)\wedge \cdots (P \wedge \neg Q_n) = (x\in B~~e~~x\notin A_1) ~~e~~(x\in B~~e~~x\notin A_2)~~e~~\cdots (x\in B~~e~~x\notin A_n) = \\ =(B-A_1) \cap (B-A_2) \cap \cdots (B-A_n) = \cap_{i=1}^{n} (B-A_i) = \cap_{A\in f}(B-A)[/tex3]
Última edição: PeterPark (Seg 18 Out, 2021 09:40). Total de 1 vez.
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