Seja [tex3]g: [0,11] \rightarrow \mathbb{R}[/tex3]
uma função derivável tal que:
[tex3](i) g’(x)= 0[/tex3]
para todo x nos intervalos (0,3) e (8,11),
[tex3](ii) g’(x)>0[/tex3]
para todo x em (3,8).
Considere a função [tex3]f: [0,11] \rightarrow \mathbb{R}[/tex3]
, definida por:
[tex3]f(x)= (x-3)^\frac{2}{3} + (x-8)^\frac{2}{3} + g(x)[/tex3]
Com base apenas nessas informações podemos afirmar que:
(1) f é, necessariamente, decrescente em [3,8].
(2) f é, necessariamente, crescente em [3,8].
(3) f tem apenas um ponto crítico em (0,11).
(4) f tem seu mínimo absoluto em x= 3.
(5) f tem seu mínimo absoluto em x=0.
Marque a alternativa correta:
( ) a única afirmação verdadeira é a (4).
( ) a única afirmação verdadeira é a (1).
( ) a única afirmação verdadeira é a (3).
( ) a única afirmação verdadeira é a (5).
( ) a única afirmação verdadeira é a (2).
Ensino Superior ⇒ Cálculo 1 Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Out 2021
19
04:54
Re: Cálculo 1
Para resolver a questão, utilizemos os seguintes fatos:
Podemos ver que [tex3]f[/tex3] é função contínua, pois é soma de funções de potência de expoente positivo e denominador ímpar que são sempre contínuas e [tex3]g(x)[/tex3] que é contínua, vide (V). Assim, por (IV), ela possuí valores máximos e mínimos no intervalo [tex3][0,11][/tex3] . Vamos derivar a equação de [tex3]f[/tex3] :
[tex3]f'(x)={2\over3}(x-3)^{-{1\over3}}+{2\over3}(x-8)^{-{1\over3}}+g'(x)[/tex3]
[tex3]f'(x)={2\over3(x-3)^{{1\over3}}}+{2\over3(x-8)^{{1\over3}}}+g'(x)[/tex3]
Podemos ver que se [tex3]x=3[/tex3] ou se [tex3]x=8[/tex3] o denominador de uma das frações será 0. Portanto, [tex3]f'(x)[/tex3] não está definida em [tex3]3[/tex3] e em [tex3]8[/tex3] . Assim, [tex3]f(x)[/tex3] pelo menos dois pontos críticos (III). Temos que, quando [tex3]x\rightarrow 8^-\implies f'(x)\rightarrow -\infty[/tex3] . Mas, podemos ver que [tex3]f'(4)>0[/tex3] . Assim, se a função é positiva e tende a menos infinito, sendo ela contínua, então, segundo o Teorema do Valor Intermediário, ela passa pelo zero ao menos uma vez. Porém como [tex3]f'(x)[/tex3] muda de positiva para negativa no intervalo [tex3](3,8)[/tex3] então ela decrescente e crescente neste intervalo. Por último verifiquemos que:
[tex3]f(0)=3^{2\over3}+5^{2\over3}+g(0)[/tex3]
[tex3]f(3)=5^{2\over3}+g(3)[/tex3]
[tex3]f(8)=5^{2\over3}+g(8)[/tex3]
[tex3]f(11)=8^{2\over3}+3^{2\over3}+g(11)[/tex3]
Por (VI), sabemos que [tex3]g=cte[/tex3] nos intervalos [tex3](0,3)[/tex3] e [tex3](8,11)[/tex3] . Portanto, [tex3]g(0)=g(3)[/tex3] e [tex3]g(8)=g(11)[/tex3] . Vou deixar pra você verificar que:
[tex3]f(3)< f(0)< f(8) < f(11) [/tex3]
Assim, o mínimo absoluto da função no intervalo dado é em [tex3]x=3[/tex3] . Finalmente, analisamos as afirmações:
(1) e (2) estão erradas por que a função muda de crescimento em [tex3][3,8][/tex3] .
(3) está errada, por que a função possuí pelo menos dois pontos cítricos.
(4) está correta.
(5) está errada por que o mínimo ocorre em 3.
(I) Se [tex3]f'(x)<0[/tex3] em [tex3](a,b)[/tex3], então [tex3]f(x)[/tex3] é decrescente em [tex3](a,b)[/tex3].
(II) Se [tex3]f'(x)>0[/tex3] em [tex3](a,b)[/tex3], então [tex3]f(x)[/tex3] é crescente em [tex3](a,b)[/tex3].
(III) Se [tex3]f'(c)=0[/tex3] ou se [tex3]f'(c)[/tex3] não está definida, então [tex3]x=c[/tex3] é um ponto crítico, podendo ser ponto mínimo, máximo ou de inflexão.
(IV) Teorema de Weierstrass: Se uma função for contínua num intervalo fechado [tex3][a,b][/tex3], então ela possuí máximo e mínimo absolutos nesse intervalo, sendo que estes serão nas extremidades ou nos pontos críticos.
(V) Toda função derivável é contínua.
(VI) Se a derivada de uma função é nula num dado intervalo, então a função é constante neste intervalo.
Podemos ver que [tex3]f[/tex3] é função contínua, pois é soma de funções de potência de expoente positivo e denominador ímpar que são sempre contínuas e [tex3]g(x)[/tex3] que é contínua, vide (V). Assim, por (IV), ela possuí valores máximos e mínimos no intervalo [tex3][0,11][/tex3] . Vamos derivar a equação de [tex3]f[/tex3] :
[tex3]f'(x)={2\over3}(x-3)^{-{1\over3}}+{2\over3}(x-8)^{-{1\over3}}+g'(x)[/tex3]
[tex3]f'(x)={2\over3(x-3)^{{1\over3}}}+{2\over3(x-8)^{{1\over3}}}+g'(x)[/tex3]
Podemos ver que se [tex3]x=3[/tex3] ou se [tex3]x=8[/tex3] o denominador de uma das frações será 0. Portanto, [tex3]f'(x)[/tex3] não está definida em [tex3]3[/tex3] e em [tex3]8[/tex3] . Assim, [tex3]f(x)[/tex3] pelo menos dois pontos críticos (III). Temos que, quando [tex3]x\rightarrow 8^-\implies f'(x)\rightarrow -\infty[/tex3] . Mas, podemos ver que [tex3]f'(4)>0[/tex3] . Assim, se a função é positiva e tende a menos infinito, sendo ela contínua, então, segundo o Teorema do Valor Intermediário, ela passa pelo zero ao menos uma vez. Porém como [tex3]f'(x)[/tex3] muda de positiva para negativa no intervalo [tex3](3,8)[/tex3] então ela decrescente e crescente neste intervalo. Por último verifiquemos que:
[tex3]f(0)=3^{2\over3}+5^{2\over3}+g(0)[/tex3]
[tex3]f(3)=5^{2\over3}+g(3)[/tex3]
[tex3]f(8)=5^{2\over3}+g(8)[/tex3]
[tex3]f(11)=8^{2\over3}+3^{2\over3}+g(11)[/tex3]
Por (VI), sabemos que [tex3]g=cte[/tex3] nos intervalos [tex3](0,3)[/tex3] e [tex3](8,11)[/tex3] . Portanto, [tex3]g(0)=g(3)[/tex3] e [tex3]g(8)=g(11)[/tex3] . Vou deixar pra você verificar que:
[tex3]f(3)< f(0)< f(8) < f(11) [/tex3]
Assim, o mínimo absoluto da função no intervalo dado é em [tex3]x=3[/tex3] . Finalmente, analisamos as afirmações:
(1) e (2) estão erradas por que a função muda de crescimento em [tex3][3,8][/tex3] .
(3) está errada, por que a função possuí pelo menos dois pontos cítricos.
(4) está correta.
(5) está errada por que o mínimo ocorre em 3.
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