Encontre o trabalho realizado pelo campo de forças [tex3]F(x,y,z)=\frac{k}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}(xi+yi+zk)[/tex3]
Resposta:
ao longo da curva [tex3]r:[0,2\pi]\rightarrow \mathbb{R}³[/tex3]
dada por [tex3]r(t)=(cos(t), sen(t), t)[/tex3]
.Ensino Superior ⇒ Cálculo Vetorial - Cálculo 3 Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Out 2021
17
22:29
Re: Cálculo Vetorial - Cálculo 3
Podemos resolver este problema de duas maneiras: pela definição ou por campo conservativo
1º Método: definição;
Primeiro, encontramos a derivada da curva:
[tex3]d\vec{r}=r'(t)dt=(-\sen(t),\cos(t),1)dt[/tex3]
Temos que [tex3]t\in[0,2\pi][/tex3] , logo:
[tex3]W=\int_\gamma \vec{F}\odot d\vec{r}[/tex3]
[tex3]W=\int_\gamma \vec{F}(r(t))\odot d\vec{r}[/tex3]
Temos:
[tex3]\vec{F}(r(t))=\(\frac{K\cos(t)}{\cos^{2}(t)+\sen^{2}(t)+t^{2}},\frac{K\sen(t)}{\cos^{2}(t)+\sen^{2}(t)+t^{2}},\frac{Kt}{\cos^{2}(t)+\sen^{2}(t)+t^{2}}\)[/tex3]
[tex3]\vec{F}(r(t))=\(\frac{K\cos(t)}{1+t^{2}},\frac{K\sen(t)}{1+t^{2}},\frac{Kt}{1+t^{2}}\)[/tex3]
Logo:
[tex3]W=\int_0^{2\pi}\(\frac{K\cos(t)}{1+t^{2}},\frac{K\sen(t)}{1+t^{2}},\frac{Kt}{1+t^{2}}\)\odot (-\sen(t),\cos(t),1)dt[/tex3]
[tex3]W=K\int_0^{2\pi}\(\frac{\cos(t)}{1+t^{2}},\frac{\sen(t)}{1+t^{2}},\frac{t}{1+t^{2}}\)\odot (-\sen(t),\cos(t),1)dt[/tex3]
[tex3]W=K\int_0^{2\pi}\[\frac{-\sen(t)\cos(t)}{1+t^{2}}+\frac{\sen(t)\cos(t)}{1+t^{2}}+\frac{t}{1+t^{2}}\]dt[/tex3]
[tex3]W=K\int_0^{2\pi}\frac{t}{1+t^{2}}dt[/tex3]
Fazendo a substituição [tex3]\begin{cases}
u=1+t^2 \\
du=2tdt\implies tdt={du\over2} \\
t=0\implies u=1 \\
t=2\pi\implies u=1+4\pi^2
\end{cases}[/tex3] , temos:
[tex3]W=K\int_1^{1+4\pi^2}\frac{1}{u}{du\over2}[/tex3]
[tex3]W=K\cdot\left.\ln(u)\over2\right]_1^{1+4\pi^2}[/tex3]
[tex3]W={K\over2}\ln(1+4\pi^2)[/tex3]
2º Método: Campo conservativo;
Para calcular a integral, vamos verificar que o campo é conservativo encontrando sua função potencial. Sabemos que a função potencial é uma função escalar [tex3]f(x,y,z)[/tex3] , tal que [tex3]\nabla f=\vec{F}[/tex3] . Assim, temos:
[tex3]\({\partial f\over\partial x},{\partial f\over\partial y},{\partial f\over\partial z}\)=\(\frac{Kx}{x^2+y^2+z^2},\frac{Ky}{x^2+y^2+z^2},\frac{Kz}{x^2+y^2+z^2}\)[/tex3]
Considerando a componente [tex3]\hat{i}[/tex3] :
[tex3]{\partial f\over\partial x}=\frac{Kx}{x^2+y^2+z^2}[/tex3]
[tex3]f(x,y,z)=\int\frac{Kx}{x^2+y^2+z^2}dx[/tex3]
Utilizando [tex3]\begin{cases}
u=x^2+y^2+z^2 \\
du=2xdx\implies xdx={du\over2} \\ \end{cases}[/tex3] , temos:
[tex3]f(x,y,z)=\int\frac{K}{u}{du\over2}[/tex3]
[tex3]f(x,y,z)={K\over2}\ln(u)+g(y,z)[/tex3]
[tex3]f(x,y,z)={K\over2}\ln(x^2+y^2+z^2)+g(y,z)[/tex3]
Sabemos da coordenada [tex3]\hat{j}[/tex3] que [tex3]{\partial f\over\partial y}=\frac{Ky}{x^2+y^2+z^2}[/tex3] . Para obter esse resultado, derivamos parcialmente a equação obtida em relação a y:
[tex3]{\partial f\over \partial y}={Ky\over x^2+y^2+z^2}+{\partial g\over \partial y}[/tex3]
[tex3]\frac{Ky}{x^2+y^2+z^2}={Ky\over x^2+y^2+z^2}+{\partial g\over \partial y}[/tex3]
[tex3]0={\partial g\over \partial y}[/tex3]
[tex3]\int0\cdot dy=g(y,z)[/tex3]
[tex3]h(z)=g(y,z)[/tex3]
Assim, temos:
[tex3]f(x,y,z)={K\over2}\ln(x^2+y^2+z^2)+h(z)[/tex3]
Por fim, usamos a coordenada [tex3]\hat{k}[/tex3]
[tex3]{\partial f\over \partial z}={Kz\over x^2+y^2+z^2}+{\partial h\over \partial z}[/tex3]
[tex3]\frac{Kz}{x^2+y^2+z^2}={Kz\over x^2+y^2+z^2}+{\partial h\over \partial z}[/tex3]
[tex3]0={\partial h\over \partial z}[/tex3]
[tex3]\int0\cdot dz=h(z)[/tex3]
[tex3]C=h(z)[/tex3]
Assim, obtemos [tex3]f(x,y,z)={K\over2}\ln(x^2+y^2+z^2)+C[/tex3] , com [tex3]C[/tex3] constante. Como existe uma função, tal que [tex3]\nabla f=\vec{F}[/tex3] , então [tex3]\vec{F}[/tex3] é um campo conservativo. Assim, podemos utilizar o seguinte resultado:
Assim, precisamos apenas dos pontos inicial e final de [tex3]\gamma[/tex3] . Como a curva vai de 0 até [tex3]2\pi[/tex3] , então:
[tex3]\gamma_i=r(0)=(1,0,0)[/tex3]
[tex3]\gamma_f=r(2\pi)=(1,0,2\pi)[/tex3]
Assim,temos:
[tex3]W=\int_\gamma \vec{F}\odot d\vec{r}[/tex3]
[tex3]W=f(\gamma_f)-f(\gamma_i)[/tex3]
[tex3]W=f(1,0,2\pi)-f(1,0,0)[/tex3]
[tex3]W={K\over2}\ln(1^2+0^2+(2\pi)^2)+C-\[{K\over2}\ln(1^2+0^2+0^2)+C\][/tex3]
[tex3]W={K\over2}\ln(1+4\pi^2)[/tex3]
1º Método: definição;
Primeiro, encontramos a derivada da curva:
[tex3]d\vec{r}=r'(t)dt=(-\sen(t),\cos(t),1)dt[/tex3]
Temos que [tex3]t\in[0,2\pi][/tex3] , logo:
[tex3]W=\int_\gamma \vec{F}\odot d\vec{r}[/tex3]
[tex3]W=\int_\gamma \vec{F}(r(t))\odot d\vec{r}[/tex3]
Temos:
[tex3]\vec{F}(r(t))=\(\frac{K\cos(t)}{\cos^{2}(t)+\sen^{2}(t)+t^{2}},\frac{K\sen(t)}{\cos^{2}(t)+\sen^{2}(t)+t^{2}},\frac{Kt}{\cos^{2}(t)+\sen^{2}(t)+t^{2}}\)[/tex3]
[tex3]\vec{F}(r(t))=\(\frac{K\cos(t)}{1+t^{2}},\frac{K\sen(t)}{1+t^{2}},\frac{Kt}{1+t^{2}}\)[/tex3]
Logo:
[tex3]W=\int_0^{2\pi}\(\frac{K\cos(t)}{1+t^{2}},\frac{K\sen(t)}{1+t^{2}},\frac{Kt}{1+t^{2}}\)\odot (-\sen(t),\cos(t),1)dt[/tex3]
[tex3]W=K\int_0^{2\pi}\(\frac{\cos(t)}{1+t^{2}},\frac{\sen(t)}{1+t^{2}},\frac{t}{1+t^{2}}\)\odot (-\sen(t),\cos(t),1)dt[/tex3]
[tex3]W=K\int_0^{2\pi}\[\frac{-\sen(t)\cos(t)}{1+t^{2}}+\frac{\sen(t)\cos(t)}{1+t^{2}}+\frac{t}{1+t^{2}}\]dt[/tex3]
[tex3]W=K\int_0^{2\pi}\frac{t}{1+t^{2}}dt[/tex3]
Fazendo a substituição [tex3]\begin{cases}
u=1+t^2 \\
du=2tdt\implies tdt={du\over2} \\
t=0\implies u=1 \\
t=2\pi\implies u=1+4\pi^2
\end{cases}[/tex3] , temos:
[tex3]W=K\int_1^{1+4\pi^2}\frac{1}{u}{du\over2}[/tex3]
[tex3]W=K\cdot\left.\ln(u)\over2\right]_1^{1+4\pi^2}[/tex3]
[tex3]W={K\over2}\ln(1+4\pi^2)[/tex3]
2º Método: Campo conservativo;
Para calcular a integral, vamos verificar que o campo é conservativo encontrando sua função potencial. Sabemos que a função potencial é uma função escalar [tex3]f(x,y,z)[/tex3] , tal que [tex3]\nabla f=\vec{F}[/tex3] . Assim, temos:
[tex3]\({\partial f\over\partial x},{\partial f\over\partial y},{\partial f\over\partial z}\)=\(\frac{Kx}{x^2+y^2+z^2},\frac{Ky}{x^2+y^2+z^2},\frac{Kz}{x^2+y^2+z^2}\)[/tex3]
Considerando a componente [tex3]\hat{i}[/tex3] :
[tex3]{\partial f\over\partial x}=\frac{Kx}{x^2+y^2+z^2}[/tex3]
[tex3]f(x,y,z)=\int\frac{Kx}{x^2+y^2+z^2}dx[/tex3]
Utilizando [tex3]\begin{cases}
u=x^2+y^2+z^2 \\
du=2xdx\implies xdx={du\over2} \\ \end{cases}[/tex3] , temos:
[tex3]f(x,y,z)=\int\frac{K}{u}{du\over2}[/tex3]
[tex3]f(x,y,z)={K\over2}\ln(u)+g(y,z)[/tex3]
[tex3]f(x,y,z)={K\over2}\ln(x^2+y^2+z^2)+g(y,z)[/tex3]
Sabemos da coordenada [tex3]\hat{j}[/tex3] que [tex3]{\partial f\over\partial y}=\frac{Ky}{x^2+y^2+z^2}[/tex3] . Para obter esse resultado, derivamos parcialmente a equação obtida em relação a y:
[tex3]{\partial f\over \partial y}={Ky\over x^2+y^2+z^2}+{\partial g\over \partial y}[/tex3]
[tex3]\frac{Ky}{x^2+y^2+z^2}={Ky\over x^2+y^2+z^2}+{\partial g\over \partial y}[/tex3]
[tex3]0={\partial g\over \partial y}[/tex3]
[tex3]\int0\cdot dy=g(y,z)[/tex3]
[tex3]h(z)=g(y,z)[/tex3]
Assim, temos:
[tex3]f(x,y,z)={K\over2}\ln(x^2+y^2+z^2)+h(z)[/tex3]
Por fim, usamos a coordenada [tex3]\hat{k}[/tex3]
[tex3]{\partial f\over \partial z}={Kz\over x^2+y^2+z^2}+{\partial h\over \partial z}[/tex3]
[tex3]\frac{Kz}{x^2+y^2+z^2}={Kz\over x^2+y^2+z^2}+{\partial h\over \partial z}[/tex3]
[tex3]0={\partial h\over \partial z}[/tex3]
[tex3]\int0\cdot dz=h(z)[/tex3]
[tex3]C=h(z)[/tex3]
Assim, obtemos [tex3]f(x,y,z)={K\over2}\ln(x^2+y^2+z^2)+C[/tex3] , com [tex3]C[/tex3] constante. Como existe uma função, tal que [tex3]\nabla f=\vec{F}[/tex3] , então [tex3]\vec{F}[/tex3] é um campo conservativo. Assim, podemos utilizar o seguinte resultado:
Seja [tex3]\gamma[/tex3] uma curva continua em partes indo do ponto [tex3]\gamma_i[/tex3] até o ponto [tex3]\gamma_f[/tex3]. Se [tex3]\vec{F}[/tex3] for conservativo com função potencial [tex3]f[/tex3], então [tex3]\int_\gamma \vec{F}\odot d\vec{r}=f(\gamma_f)-f(\gamma_i)[/tex3]
Assim, precisamos apenas dos pontos inicial e final de [tex3]\gamma[/tex3] . Como a curva vai de 0 até [tex3]2\pi[/tex3] , então:
[tex3]\gamma_i=r(0)=(1,0,0)[/tex3]
[tex3]\gamma_f=r(2\pi)=(1,0,2\pi)[/tex3]
Assim,temos:
[tex3]W=\int_\gamma \vec{F}\odot d\vec{r}[/tex3]
[tex3]W=f(\gamma_f)-f(\gamma_i)[/tex3]
[tex3]W=f(1,0,2\pi)-f(1,0,0)[/tex3]
[tex3]W={K\over2}\ln(1^2+0^2+(2\pi)^2)+C-\[{K\over2}\ln(1^2+0^2+0^2)+C\][/tex3]
[tex3]W={K\over2}\ln(1+4\pi^2)[/tex3]
[tex3]\color{YellowOrange}\textbf{Não importa o quanto se esforce ou evolua, você sempre estará abaixo do Sol}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
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