Ensino Superior

Mensagem não lidapor **Augusto007** » 16 Out 2021, 09:29 · Mensagem não lida por **Augusto007** » 16 Out 2021, 09:29

Verifique se a função
y = [tex3]e^{x}[/tex3] .[tex3]\int\limits_{0}^{x}e^{t^{2}}dt[/tex3] + c.[tex3]e^{x}[/tex3]
satisfaz a equação diferencial xy' = y + x.sen(x)

Mensagem não lidapor **AnthonyC** » 16 Out 2021, 14:34 · Mensagem não lida por **AnthonyC** » 16 Out 2021, 14:34

Seja [tex3]I(x)=\int_0^x e^{t^2}dt[/tex3] . Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos:
[tex3]\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)[/tex3]
, onde [tex3]F'(x)=f(x)[/tex3] .
Logo:
[tex3]I(x)=E(x)-E(0)[/tex3] , [tex3]E'(x)=e^{x^2}[/tex3] . Portanto:
[tex3]I'(x)=E'(x)=e^{x^2}[/tex3]
Assim, temos:
[tex3]xy'=x\cdot\[e^x\cdot I(x)+ce^x\]'[/tex3]
Pela Regra do Produto:
[tex3]xy'=x\cdot\[\(e^x\)'\cdot I(x)+e^x\cdot I'(x)+\(ce^x\)'\][/tex3]
[tex3]xy'=x\cdot\[e^x\cdot I(x)+e^x\cdot e^{x^2}+ce^x\][/tex3]
[tex3]xy'=x\cdot\[e^x\cdot I(x)+ce^x+ e^{x^2+x}\][/tex3]
[tex3]xy'=x\cdot\[y+ e^{x^2+x}\][/tex3]
Portanto, a função não satisfaz a EDO.

Obs: assumi [tex3]c[/tex3] como constante.

Mensagem não lidapor **Augusto007** » 16 Out 2021, 15:15 · Mensagem não lida por **Augusto007** » 16 Out 2021, 15:15

AnthonyC, Obrigado pela ajuda, c é constante mesmo.

Ensino Superior ⇒ Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) Tópico resolvido

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