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Mensagem não lidapor **magben** » Qui 14 Out, 2021 23:14 · Mensagem não lida por **magben** » Qui 14 Out, 2021 23:14

Determine o fluxo de F através de S, onde [tex3]F=(x,y,z)=xy^{2}i+xy^{2}j+yk[/tex3] e S é a superfície da região delimitada pelos paraboloides [tex3]z=x^{2}+y^{2}, z=4-x^{2}-y^{2}[/tex3]

Dica de LaTex: para símbolo de versor use \hat{}. Ex: \hat{a} = [tex3]\hat{a}[/tex3]
Para vetor use \vec{}. Ex: \vec{a} = [tex3]\vec{a}[/tex3]

Sabemos que o fluxo de um campo pode ser calculado através da seguinte integral:
[tex3]\iint_S \vec{F}\odot d\vec{a}[/tex3] , onde [tex3]\odot[/tex3] é o produto escalar.
Porém, pelo Teorema da Divergência, podemos encontrar a integral acima através da seguinte fórmula:
[tex3]\iint_S \vec{F}\odot d\vec{a}=\iiint_D \nabla\odot\vec{F}dV[/tex3]
, onde [tex3]D[/tex3] é a região do espaço cercada pela superfície [tex3]S[/tex3] . Vamos encontrar os limites de integração:

: Magben-Flux.png (88.81 KiB) Exibido 1573 vezes

: Magben-Flux-2.png (95 KiB) Exibido 1573 vezes

Temos que considerar dois intervalos, um para cada metade da superfície.
[tex3]\begin{cases}
S_1: z=x^{2}+y^{2}
\\ S_2: z=4-x^{2}-y^{2}
\end{cases}[/tex3]
Podemos utilizar coordenadas cilíndricas:
[tex3]\begin{cases}
x=r\cos(\theta)\\
y=r\sen(\theta)
\\ z=z
\end{cases}[/tex3]
Vamos descobrir as relações dessas variáveis:
[tex3]\begin{cases}
S_1:z=\(r\cos(\theta)\)^{2}+\(r\sen(\theta)\)^{2}
\\ S_2: z=4-\(r\cos(\theta)\)^{2}-\(r\sen(\theta)\)^{2}
\end{cases}[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
S_1:z=r^2
\\ S_2:z=4-r^{2}
\end{cases}[/tex3]
Podemos ver que a mudança de um para outro ocorre na intersecção dos paraboloides. Assim, temos:
[tex3]r^2=4-r^2[/tex3]
[tex3]2r^2=4[/tex3]
[tex3]r=\sqrt2[/tex3]
Podemos ver no gráfico que [tex3]r\geq0[/tex3] e damos uma volta completa, portanto [tex3]0\leq \theta \leq 2\pi[/tex3] . Por fim, [tex3]z[/tex3] vai do paraboloide inferior [tex3]S_1[/tex3] até o superior [tex3]S_2[/tex3] . Assim, temos:
[tex3]\iint_S \vec{F}\odot d\vec{a}=\iiint_D \nabla\odot\vec{F}dV[/tex3]
[tex3]\iint_S \vec{F}\odot d\vec{a}=\int_0^{2\pi}\int_0^\sqrt2\int_{r^2}^{4-r^2} \nabla\odot\vec{F}\cdot|J|dzdrd\theta[/tex3]
Vamos encontrar o divergente de [tex3]\vec{F}[/tex3] :
[tex3]\nabla\odot\vec{F}={\partial \vec{F}_x\over \partial x}+{\partial \vec{F}_y\over \partial y}+{\partial \vec{F}_z\over \partial z}[/tex3]
[tex3]\nabla\odot\vec{F}={\partial\over \partial x}[xy^2]+{\partial \over \partial y}[xy^2]+{\partial \over \partial z}[y][/tex3]
[tex3]\nabla\odot\vec{F}=y^2+2xy[/tex3]
Pela parametrização, temos:
[tex3]\nabla\odot\vec{F}=r^2\sen^2(\theta)+2r^2\cos(\theta)\sen(\theta)[/tex3]
[tex3]\nabla\odot\vec{F}=r^2[\sen^2(\theta)+2\cos(\theta)\sen(\theta)][/tex3]
Por fim, sabemos que o Jacobiano de coordenadas cilíndricas é [tex3]|J|=r[/tex3] , logo:
[tex3]\iint_S \vec{F}\odot d\vec{a}=\int_0^{2\pi}\int_0^\sqrt2\int_{r^2}^{4-r^2} \nabla\odot\vec{F}\cdot|J|dzdrd\theta[/tex3]
[tex3]\iint_S \vec{F}\odot d\vec{a}=\int_0^{2\pi}\int_0^\sqrt2\int_{r^2}^{4-r^2} r^2[\sen^2(\theta)+2\cos(\theta)\sen(\theta)]\cdot rdzdrd\theta[/tex3]
[tex3]\iint_S \vec{F}\odot d\vec{a}=\int_0^\sqrt2r^3\int_{r^2}^{4-r^2} dzdr\int_0^{2\pi}[\sen^2(\theta)+2\cos(\theta)\sen(\theta)]d\theta[/tex3]
[tex3]\iint_S \vec{F}\odot d\vec{a}=\int_0^\sqrt2r^3[4-r^2-r^2]dr\int_0^{2\pi}\[{1\over2}+{1\over2}\cos(2\theta)+\sen(2\theta)\]d\theta[/tex3]
[tex3]\iint_S \vec{F}\odot d\vec{a}=\int_0^\sqrt2[4r^3-2r^5]dr\[{\theta\over2}+{1\over4}\sen(2\theta)-{1\over2}\cos(2\theta)\]_0^{2\pi}[/tex3]
[tex3]\iint_S \vec{F}\odot d\vec{a}=\[r^4-{r^5\over3}\]_0^\sqrt2\cdot\pi[/tex3]
[tex3]\iint_S \vec{F}\odot d\vec{a}=\pi\[4-{4\sqrt2\over3}\][/tex3]

Ensino Superior ⇒ Fluxo em uma superfície - Cálculo 3 Tópico resolvido

Fluxo em uma superfície - Cálculo 3

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