Ensino SuperiorCálculo 1 Tópico resolvido

Poste aqui problemas sobre assuntos estudados no Ensino Superior (exceto os cobrados em concursos públicos e escolas militares).

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Jota03
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Cálculo 1

Mensagem não lida por Jota03 »

Seja [tex3]n[/tex3] um número natural, seja [tex3]f: [0, \infty ]\rightarrow \mathbb{R}[/tex3] a função [tex3]f(x)= 3x^n[/tex3] e seja [tex3]P[/tex3] o ponto no gráfico de [tex3]f[/tex3] está mais próximo do ponto [tex3]Q=(1+9n, 0)[/tex3] . Se [tex3]P= (a,b)[/tex3] , determine o valor de [tex3]a+b[/tex3] .




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AnthonyC
4 - Sabe Tudo
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Out 2021 15 02:05

Re: Cálculo 1

Mensagem não lida por AnthonyC »

Pra encontrarmos [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] , precisamos encontrar o ponto de [tex3]f(x)[/tex3] que está a menor distância de [tex3]Q[/tex3] . Seja [tex3]d(x)[/tex3] a função que determina a distância do ponto [tex3](x,f(x))[/tex3] até [tex3]Q[/tex3] . Pela fórmula da distância de pontos, temos:
[tex3]d(x)=\sqrt{(x-x_Q)^2+(f(x)-y_Q)^2}[/tex3]
[tex3]d(x)=\sqrt{(x-[1+9n])^2+(f(x)-0)^2}[/tex3]
[tex3]d(x)=\sqrt{(x-1-9n)^2+(f(x))^2}[/tex3]
[tex3]d(x)=\sqrt{(x-1-9n)^2+9x^{2n}}[/tex3]
Queremos o valor mínimo, logo, derivamos e igualamos a zero:
[tex3]0={d\over d x}\[\sqrt{(x-1-9n)^2+9x^{2n}}\][/tex3]
[tex3]0={1\over 2\sqrt{(x-1-9n)^2+9x^{2n}}}\cdot[2(x-1-9n)+18nx^{2n-1}][/tex3]
Podemos verificar que [tex3]Q[/tex3] não está na curva [tex3]f[/tex3] . Assim, o denominador nunca é zero e podemos multiplicar de ambos os lados pelo mesmo:
[tex3]0=2(x-1-9n)+18nx^{2n-1}[/tex3]
[tex3]0=x-1-9n+9nx^{2n-1}[/tex3]
[tex3]0=x-1+9n(x^{2n-1}-1)[/tex3]
Utilizando a fatoração [tex3]x^k-1=(x-1)(1+x+...+x^{k-1})[/tex3] , temos:
[tex3]0=x-1+9n(x-1)(1+x+...+x^{2n-2})[/tex3]
[tex3]0=(x-1)[1+9n(1+x+...+x^{2n-2})][/tex3]
Como o domínio da função é os reais não negativos. então [tex3]x^k\geq0,\forall ~~k\in\mathbb{N}[/tex3] , portanto [tex3]1+9n(1+x+...+x^{2n-2})>0[/tex3] (vou deixar pra você verificar isso mais "formalmente"). Assim, a única raiz é [tex3]x=1[/tex3] . Assim, o ponto mais próximo de [tex3]Q[/tex3] , para qualquer [tex3]n[/tex3] é o ponto [tex3](1,f(1))=(1,3)[/tex3] . Portanto [tex3]a=1[/tex3] , [tex3]b=3[/tex3] e [tex3]a+b=4[/tex3]



[tex3]\color{YellowOrange}\textbf{Não importa o quanto se esforce ou evolua, você sempre estará abaixo do Sol}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]

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