Ensino Superior ⇒ Cálculo I Tópico resolvido

[raizinha]

Acumulam-se em um monte de forma cônica a uma taxa de [tex3]184\pi \frac{ cm^3}{min}[/tex3]

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[tex3]184\pi \frac{ cm^3}{min}[/tex3]

. Se a altura do monte é igual a 7 vezes o raio da base, a que taxa cresce a altura quando está igual a 14cm?

Resposta

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46

[AnthonyC]

Sabemos que para um cone, temos:
[tex3]V={1\over3}\pi r^2h[/tex3]

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[tex3]V={1\over3}\pi r^2h[/tex3]

Sabemos que [tex3]h=7r\implies r={h\over7}[/tex3]

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[tex3]h=7r\implies r={h\over7}[/tex3]

, logo:
[tex3]V={\pi h^3\over147}[/tex3]

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[tex3]V={\pi h^3\over147}[/tex3]

[tex3]{dV\over dt}={\pi h^2\over49}\cdot{dh\over dt}[/tex3]

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[tex3]{dV\over dt}={\pi h^2\over49}\cdot{dh\over dt}[/tex3]

Sabemos também que a taxa de variação de volume é igual à [tex3]184\pi {\text{ cm}^3\over\text{min}}[/tex3]

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[tex3]184\pi {\text{ cm}^3\over\text{min}}[/tex3]

. Logo:
[tex3]184\pi={\pi h^2\over49}\cdot{dh\over dt}[/tex3]

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[tex3]184\pi={\pi h^2\over49}\cdot{dh\over dt}[/tex3]

[tex3]{dh\over dt}={9016\over h^2}[/tex3]

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[tex3]{dh\over dt}={9016\over h^2}[/tex3]

Quando a altura é 14 cm:
[tex3]{dh\over dt}={9016\over 14^2}[/tex3]

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[tex3]{dh\over dt}={9016\over 14^2}[/tex3]

[tex3]{dh\over dt}=46~{\text{cm}\over\text{min}}[/tex3]