Resposta
C=200
Ensino Superior ⇒ Cálculo 1 Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Out 2021
14
19:47
Cálculo 1
O segmento [tex3]{\overline{AB}} [/tex3]
de comprimento 25 deve ser dividido em duas partes [tex3]{\overline{AP}}[/tex3]
e [tex3]{\overline{PB}}.[/tex3]
Com o segmento [tex3]{\overline{PB}} [/tex3]
desejam-se construir 2 quadrados iguais e com o segmento [tex3]{\overline{AP}}[/tex3]
8 circunferências iguais. (Em outras palavras, o comprimento do segmento [tex3]{\overline{PB}} [/tex3]
é igual a soma dos perímetros de 2 quadrados iguais e o comprimento do segmento [tex3]{\overline{AP}}[/tex3]
é igual a soma de perímetros de 8 circunferências iguais). Identificando o segmento [tex3]{\overline{AB}} [/tex3]
com o intervalo [0, 25], verifica-se que a posição exata do ponto P que torna mínima a soma das áreas das 10 figuras é [tex3]x _{0}=\frac{ \pi}{8+8\pi}C[/tex3]
. Determine a constante C.
C=200
C=200
Out 2021
16
15:39
Re: Cálculo 1
Seja [tex3]\overline{AP}=x[/tex3]
. Temos que [tex3]\overline{PB}=25-x[/tex3]
. Como [tex3]\overline{AP}[/tex3]
será usado para construir 2 quadrado iguais, então os lados desses quadrados serão iguais a um oitavo de [tex3]\overline{AP}[/tex3]
, ou seja, [tex3]l={x\over8}[/tex3]
. Já para [tex3]\overline{PB}[/tex3]
, temos que esse será usado pra construir 8 circunferências iguais, portanto cada circunferência terá um oitavo de [tex3]\overline{PB}[/tex3]
. Assim, temos:
[tex3]2\pi r={\overline{PB}\over8}[/tex3]
[tex3]r={25-x\over16\pi}[/tex3]
As áreas de todas as figuras em função de [tex3]x[/tex3] são dadas por:
[tex3]A(x)=2l^2+8 \pi r^2[/tex3]
[tex3]A(x)={x^2\over32}+ {(25-x)^2\over32\pi}[/tex3]
Como queremos o valor mínimo, derivamos a função acima:
[tex3]A'(x)={x\over16}-{25-x\over 16\pi}[/tex3]
Igualando a zero:
[tex3]0={x\over16}-{25-x\over 16\pi}[/tex3]
[tex3]0={x\over16}+{x-25\over 16\pi}[/tex3]
[tex3]0={x\over16}+{x\over 16\pi}-{25\over 16\pi}[/tex3]
[tex3]0=x\[{1\over16}+{1\over 16\pi}\]-{25\over 16\pi}[/tex3]
[tex3]0=x\[1+{1\over \pi}\]-{25\over \pi}[/tex3]
[tex3]x\[1+{1\over \pi}\]={25\over \pi}[/tex3]
[tex3]x\[{\pi+1\over \pi}\]={25\over \pi}[/tex3]
[tex3]x={25\over \pi+1}[/tex3]
[tex3]x={200\over 8\pi+8}[/tex3]
Portanto, [tex3]C={200\over\pi}[/tex3].
Confere aí se realmente tem aquele [tex3]\pi[/tex3] no numerador.
[tex3]2\pi r={\overline{PB}\over8}[/tex3]
[tex3]r={25-x\over16\pi}[/tex3]
As áreas de todas as figuras em função de [tex3]x[/tex3] são dadas por:
[tex3]A(x)=2l^2+8 \pi r^2[/tex3]
[tex3]A(x)={x^2\over32}+ {(25-x)^2\over32\pi}[/tex3]
Como queremos o valor mínimo, derivamos a função acima:
[tex3]A'(x)={x\over16}-{25-x\over 16\pi}[/tex3]
Igualando a zero:
[tex3]0={x\over16}-{25-x\over 16\pi}[/tex3]
[tex3]0={x\over16}+{x-25\over 16\pi}[/tex3]
[tex3]0={x\over16}+{x\over 16\pi}-{25\over 16\pi}[/tex3]
[tex3]0=x\[{1\over16}+{1\over 16\pi}\]-{25\over 16\pi}[/tex3]
[tex3]0=x\[1+{1\over \pi}\]-{25\over \pi}[/tex3]
[tex3]x\[1+{1\over \pi}\]={25\over \pi}[/tex3]
[tex3]x\[{\pi+1\over \pi}\]={25\over \pi}[/tex3]
[tex3]x={25\over \pi+1}[/tex3]
[tex3]x={200\over 8\pi+8}[/tex3]
Portanto, [tex3]C={200\over\pi}[/tex3].
Confere aí se realmente tem aquele [tex3]\pi[/tex3] no numerador.
[tex3]\color{YellowOrange}\textbf{Não importa o quanto se esforce ou evolua, você sempre estará abaixo do Sol}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
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