5. Considere a curva do R3 parametrizada por σ(t) = (t, 1 − t^2 ,1).
a) Escreva equações da reta tangente à curva σ(t) no ponto (0, 1, 1).
b) Calcule o comprimento da curva σ(t) do ponto (0, 1, 1) ao ponto (1, 0, 1).
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Ensino Superior ⇒ Calculo 3
Moderador: [ Moderadores TTB ]
-
AnthonyC
- Mensagens: 964
- Registrado em: 09 Fev 2018, 19:43
- Última visita: 21-02-24
- Agradeceu: 1 vez
- Agradeceram: 2 vezes
Out 2021
16
15:13
Re: Calculo 3
a) Para encontrarmos uma reta tangente a uma curva, consideramos sua derivada:
[tex3]\sigma'(t)=(1,-2t,0)[/tex3]
No ponto dado, temos:
[tex3]\sigma(t)=(0,1,1)[/tex3]
[tex3](t,1-t^2,1)=(0,1,1)[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
t=0 \\
1-t^2=1 \implies t=0\\
1=1
\end{cases}[/tex3]
Portanto, [tex3]t=0[/tex3] . Logo:
[tex3]\sigma'(0)=(1,0,0)[/tex3]
Assim, a reta tangente a curva será dada por:
[tex3]r(u)=(0,1,1)+u\sigma'(0)[/tex3]
[tex3]r(u)=(0,1,1)+u(1,0,0)[/tex3]
[tex3]r(u)=(u,1,1)[/tex3]
b) Podemos calcular o comprimento de uma curva através da seguinte integral:
[tex3]L=\int _a^b \sqrt{\({d\sigma_x\over dt}\)^2+\({d\sigma_y\over dt}\)^2+\({d\sigma_z\over dt}\)^2}dt[/tex3]
Sabemos que em [tex3](0,1,1)[/tex3] , [tex3]t=0[/tex3] . Para o segundo ponto, temos:
[tex3]\begin{cases}
t=1 \\
1-t^2=0 \implies t=\pm 1\\
1=1
\end{cases}[/tex3]
Logo, [tex3]t=1[/tex3] . Portanto, devemos realizar a integração de [tex3]0[/tex3] até [tex3]1[/tex3] :
[tex3]L=\int _0^1\sqrt{\(1\)^2+\(-2t\)^2+\(0\)^2}dt[/tex3]
[tex3]L=\int _0^1\sqrt{1+4t^2}dt[/tex3]
Fazendo a seguinte substituição [tex3]\begin{cases}
t={\tan(\theta)\over2} \\
dt={\sec^2(\theta)\over2}d\theta \\
t=0\implies \theta=0\\
t=1\implies \theta=\arctan(2)
\end{cases}[/tex3] , temos:
[tex3]L=\int _0^{\arctan(2)}\sqrt{1+4\[\tan(\theta)\over2\]^2}\cdot{\sec^2(\theta)\over2}d\theta[/tex3]
[tex3]L=\int _0^{\arctan(2)} \sqrt{1+\tan^2(\theta)}\cdot{\sec^2(\theta)\over2}d\theta[/tex3]
[tex3]L=\int _0^{\arctan(2)}\sqrt{\sec^2(\theta)}\cdot{\sec^2(\theta)\over2}d\theta[/tex3]
[tex3]L=\int _0^{\arctan(2)}|\sec(\theta)|\cdot{\sec^2(\theta)\over2}d\theta[/tex3]
Como no intervalo de integração, temos [tex3]\sec(\theta)\geq 0[/tex3] , temos:
[tex3]L=\int _0^{\arctan(2)}\sec(\theta)\cdot{\sec^2(\theta)\over2}d\theta[/tex3]
[tex3]L={1\over2}\int _0^{\arctan(2)}\sec^3(\theta)d\theta[/tex3]
Resolvendo essa integral utilizando integração por partes, chegamos no resultado:
[tex3]L={\sqrt5\over2}+{\ln(2+\sqrt5)\over4}\approx 1,47[/tex3]
[tex3]\sigma'(t)=(1,-2t,0)[/tex3]
No ponto dado, temos:
[tex3]\sigma(t)=(0,1,1)[/tex3]
[tex3](t,1-t^2,1)=(0,1,1)[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
t=0 \\
1-t^2=1 \implies t=0\\
1=1
\end{cases}[/tex3]
Portanto, [tex3]t=0[/tex3] . Logo:
[tex3]\sigma'(0)=(1,0,0)[/tex3]
Assim, a reta tangente a curva será dada por:
[tex3]r(u)=(0,1,1)+u\sigma'(0)[/tex3]
[tex3]r(u)=(0,1,1)+u(1,0,0)[/tex3]
[tex3]r(u)=(u,1,1)[/tex3]
b) Podemos calcular o comprimento de uma curva através da seguinte integral:
[tex3]L=\int _a^b \sqrt{\({d\sigma_x\over dt}\)^2+\({d\sigma_y\over dt}\)^2+\({d\sigma_z\over dt}\)^2}dt[/tex3]
Sabemos que em [tex3](0,1,1)[/tex3] , [tex3]t=0[/tex3] . Para o segundo ponto, temos:
[tex3]\begin{cases}
t=1 \\
1-t^2=0 \implies t=\pm 1\\
1=1
\end{cases}[/tex3]
Logo, [tex3]t=1[/tex3] . Portanto, devemos realizar a integração de [tex3]0[/tex3] até [tex3]1[/tex3] :
[tex3]L=\int _0^1\sqrt{\(1\)^2+\(-2t\)^2+\(0\)^2}dt[/tex3]
[tex3]L=\int _0^1\sqrt{1+4t^2}dt[/tex3]
Fazendo a seguinte substituição [tex3]\begin{cases}
t={\tan(\theta)\over2} \\
dt={\sec^2(\theta)\over2}d\theta \\
t=0\implies \theta=0\\
t=1\implies \theta=\arctan(2)
\end{cases}[/tex3] , temos:
[tex3]L=\int _0^{\arctan(2)}\sqrt{1+4\[\tan(\theta)\over2\]^2}\cdot{\sec^2(\theta)\over2}d\theta[/tex3]
[tex3]L=\int _0^{\arctan(2)} \sqrt{1+\tan^2(\theta)}\cdot{\sec^2(\theta)\over2}d\theta[/tex3]
[tex3]L=\int _0^{\arctan(2)}\sqrt{\sec^2(\theta)}\cdot{\sec^2(\theta)\over2}d\theta[/tex3]
[tex3]L=\int _0^{\arctan(2)}|\sec(\theta)|\cdot{\sec^2(\theta)\over2}d\theta[/tex3]
Como no intervalo de integração, temos [tex3]\sec(\theta)\geq 0[/tex3] , temos:
[tex3]L=\int _0^{\arctan(2)}\sec(\theta)\cdot{\sec^2(\theta)\over2}d\theta[/tex3]
[tex3]L={1\over2}\int _0^{\arctan(2)}\sec^3(\theta)d\theta[/tex3]
Resolvendo essa integral utilizando integração por partes, chegamos no resultado:
[tex3]L={\sqrt5\over2}+{\ln(2+\sqrt5)\over4}\approx 1,47[/tex3]
[tex3]\color{YellowOrange}\textbf{Não importa o quanto se esforce ou evolua, você sempre estará abaixo do Sol}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
-
- Tópicos Semelhantes
- Respostas
- Exibições
- Última mensagem
-
- 3 Respostas
- 1616 Exibições
-
Última mensagem por danjr5
-
- 1 Respostas
- 1302 Exibições
-
Última mensagem por Cardoso1979
-
- 3 Respostas
- 10138 Exibições
-
Última mensagem por Cardoso1979
-
- 1 Respostas
- 6650 Exibições
-
Última mensagem por Cardoso1979
-
- 1 Respostas
- 3679 Exibições
-
Última mensagem por AnthonyC
