Ensino SuperiorCálculo 1 Tópico resolvido

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Rayani
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Cálculo 1

Mensagem não lida por Rayani »

Considere a reta tangente ao gráfico de [tex3] f(x)= x^2 -11x [/tex3] no ponto (11,0) e a reta tangente ao gráfico de [tex3] g(x)= -x^2 +1[/tex3] no ponto (1,0). Qual o ponto de interseção entre as duas retas?
Resposta

(123/13, -220/13)




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AnthonyC
4 - Sabe Tudo
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Out 2021 14 01:42

Re: Cálculo 1

Mensagem não lida por AnthonyC »

Primeiramente, vamos encontrar as retas. Seja [tex3]r: y=ax+b[/tex3] tangente a [tex3]f[/tex3] e [tex3]s: y=mx+n [/tex3] tangente a [tex3]g[/tex3] . Sabemos que o coeficiente angular de uma reta tangente a uma função num ponto é o valor da derivada da função neste mesmo ponto, logo:
[tex3]a=f'(11)[/tex3] e [tex3]m=g'(1)[/tex3]
Temos que
[tex3]f'(x)=2x-11\implies f'(11)=11=a[/tex3]
e
[tex3]g'(x)=-2x\implies g'(1)=-2=m[/tex3]
Sabemos também que as retas tem o ponto de tangência em comum com a função. Logo [tex3](11,0)\in r[/tex3] [tex3](1,0)\in s[/tex3] . Substituindo esses valores nas equações das retas, temos:
[tex3]0=11a+b\implies 0=11\cdot 11+b\implies b=-121[/tex3]

[tex3]0=m+n\implies 0=-2+n\implies n=2[/tex3]

Assim, temos:
[tex3]r: y=11x-121[/tex3] e [tex3]s: y=-2x+2[/tex3]
Para achar o ponto de intersecção das retas, resolvemos o sistema:
[tex3]\begin{cases}
y=11x-121 \\
y=-2x+2
\end{cases}[/tex3]
Temos:
[tex3]11x-121=-2x+2[/tex3]
[tex3]13x=123[/tex3]
[tex3]x={123\over13}[/tex3]
Substituindo na segunda equação:
[tex3]y=-2x+2\implies -2\cdot{123\over13}+2\implies y=-{220\over13}[/tex3]
Assim, o ponto de intersecção das retas é [tex3]\({123\over13},-{220\over13}\)[/tex3]



[tex3]\color{YellowOrange}\textbf{Não importa o quanto se esforce ou evolua, você sempre estará abaixo do Sol}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]

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