Ensino SuperiorCálculo 1

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Jota03
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Cálculo 1

Mensagem não lida por Jota03 »

Suponha que a função [tex3]y=f(x)[/tex3] é dada implicitamente pela equação:
[tex3]\ln (\cos (x)+ax) + 1=e^{8x+y} [/tex3]
Determine o valor de [tex3]a[/tex3] para que [tex3]\frac{dy}{dx}(0)=21 [/tex3]




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AnthonyC
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Out 2021 14 01:52

Re: Cálculo 1

Mensagem não lida por AnthonyC »

[tex3]\ln (\cos (x)+ax) + 1=e^{8x+y} [/tex3]
Derivando a equação em relação a [tex3]x[/tex3] :
[tex3]{d\over dx}\[\ln (\cos (x)+ax) + 1\]={d\over dx}\[e^{8x+y}\] [/tex3]
[tex3]{d\over dx}\[\ln (\cos (x)+ax) \]+ {d\over dx}\[1\]={d\over dx}\[e^{8x+y}\] [/tex3]
[tex3]{1\over \cos(x)+ax}\cdot[-\sen(x)+a]+ 0=e^{8x+y}\cdot{d\over dx}\[8x+y\] [/tex3]
[tex3]{1\over \cos(x)+ax}\cdot[-\sen(x)+a]=e^{8x+y}\cdot\[{d\over dx}[8x]+{d\over dx}[y]\] [/tex3]
[tex3]{1\over \cos(x)+ax}\cdot[-\sen(x)+a]=e^{8x+y}\cdot\[8+{dy\over dx}(x)\] [/tex3]
Aplicando [tex3]x=0[/tex3] :
[tex3]{1\over \cos(0)+a\cdot0}\cdot[-\sen(0)+a]=e^{8\cdot0+y(0)}\cdot\[8+{dy\over dx}(0)\] [/tex3]
[tex3]a=e^{y(0)}\cdot\[8+{dy\over dx}(0)\] [/tex3]
Para descobrir o valor de [tex3]y(0)[/tex3] , basta substituir [tex3]x=0[/tex3] na equação original:
[tex3]\ln (\cos (x)+ax) + 1=e^{8x+y(x)} [/tex3]
[tex3]\ln (\cos (0)+a\cdot0) + 1=e^{8\cdot0+y(0)} [/tex3]
[tex3]\ln (1) + 1=e^{y(0)} [/tex3]
[tex3]1=e^{y(0)} [/tex3]
[tex3]y(0)=0 [/tex3]
Assim, temos:
[tex3]a=e^{y(0)}\cdot\[8+{dy\over dx}(0)\] [/tex3]
Substituindo [tex3]y(0)[/tex3] e [tex3]{dy\over dx}(0)[/tex3]
[tex3]a=e^{0}\cdot\[8+21\] [/tex3]
[tex3]a=29[/tex3]



[tex3]\color{YellowOrange}\textbf{Não importa o quanto se esforce ou evolua, você sempre estará abaixo do Sol}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]

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