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Cálculo 1
Enviado: Qua 13 Out, 2021 22:57
por raizinha
Determine a>0 tal que [tex3]\int_{0}^{\frac{6}{a+6}} \frac{a}{\sqrt{a^2-36x^2}}dx
[/tex3]
seja igual a [tex3]\frac{\pi a}{36}[/tex3]
.
Re: Cálculo 1
Enviado: Qua 13 Out, 2021 23:36
por AnthonyC
[tex3]{\pi a\over 36}=\int_{0}^{\frac{6}{a+6}} \frac{a}{\sqrt{a^2-36x^2}}dx[/tex3]
[tex3]{\pi a\over 36}=\int_{0}^{\frac{6}{a+6}} \frac{a}{\sqrt{a^2\(1-{36x^2\over a^2}\)}}dx[/tex3]
[tex3]{\pi a\over 36}=\int_{0}^{\frac{6}{a+6}} \frac{a}{|a|\sqrt{1-\(6x\over a\)^2}}dx[/tex3]
Como [tex3]a>0[/tex3]
, então [tex3]|a|=a[/tex3]
, logo:
[tex3]{\pi a\over 36}=\int_{0}^{\frac{6}{a+6}} \frac{1}{\sqrt{1-\(6x\over a\)^2}}dx[/tex3]
Fazendo a substituição [tex3]\begin{cases} u={6x\over a}\\
du={6\over a}dx\implies dx={a\over 6}du \\
x=0\implies u=0\\
x={6\over a+6}\implies u={36\over a(a+6)}\end{cases}[/tex3]
, temos:
[tex3]{\pi a\over 36}=\int_{0}^{{36\over a(a+6)}} \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\cdot {a\over 6}du [/tex3]
[tex3]{\pi \over 6}=\int_{0}^{{36\over a(a+6)}} \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}du [/tex3]
Fazendo a substituição [tex3]\begin{cases} u=\sen(\theta)\\
du=\cos(\theta)d\theta \\
u=0\implies \theta=0\\
u={36\over a(a+6)}\implies u=\arcsen\({36\over a(a+6)}\)\end{cases}[/tex3]
, temos:
[tex3]{\pi \over 6}=\int_{0}^{\arcsen\({36\over a(a+6)}\)} \frac{1}{\sqrt{1-\sen^2(\theta)}}\cdot \cos(\theta)d\theta [/tex3]
[tex3]{\pi \over 6}=\int_{0}^{\arcsen\({36\over a(a+6)}\)} \frac{1}{\sqrt{\cos^2(\theta)}}\cdot \cos(\theta)d\theta [/tex3]
[tex3]{\pi \over 6}=\int_{0}^{\arcsen\({36\over a(a+6)}\)} \frac{1}{|\cos(\theta)|}\cdot \cos(\theta)d\theta [/tex3]
Como [tex3]{36\over a(a+6)}>0,[/tex3]
então [tex3]\arcsen\({36\over a(a+6)}\)>0[/tex3]
e portanto [tex3]\cos(\theta)>0[/tex3]
, logo:
[tex3]{\pi \over 6}=\int_{0}^{\arcsen\({36\over a(a+6)}\)} \frac{1}{\cos(\theta)}\cdot \cos(\theta)d\theta [/tex3]
[tex3]{\pi \over 6}=\int_{0}^{\arcsen\({36\over a(a+6)}\)} d\theta [/tex3]
[tex3]{\pi \over 6}=\theta]_{0}^{\arcsen\({36\over a(a+6)}\)} [/tex3]
[tex3]{\pi \over 6}=\arcsen\({36\over a(a+6)}\) [/tex3]
[tex3]\sen\( {\pi \over 6}\)=\sen\(\arcsen\({36\over a(a+6)}\) \)[/tex3]
[tex3]{1\over2}={36\over a(a+6)}[/tex3]
[tex3]a(a+6)=72[/tex3]
[tex3]a^2+6a-72=0[/tex3]
[tex3]a={-6\pm\sqrt{36+4\cdot72}\over2}[/tex3]
[tex3]a={-6\pm18\over2}[/tex3]
[tex3]a={-3\pm9}[/tex3]
[tex3]a=-12 \text{ ou } 6[/tex3]
Como [tex3]a>0[/tex3]
, então [tex3]a=6[/tex3].