Ensino Superior ⇒ Cálculo 1 Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Out 2021
13
21:28
Cálculo 1
Seja f: ℝ —> ℝ uma função contínua tal que f(1)= 5. Considere a função [tex3]F(x) = \int_{0}^{x^5} f(s)ds[/tex3]
. Determine o valor de F’(1).
Out 2021
13
22:12
Re: Cálculo 1
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, sabemos que [tex3]\int_a^bf(x)dx= \Phi (b)-\Phi (a)[/tex3]
[tex3]F(x)=\int_0^{x^5}f(s)ds[/tex3]
[tex3]F(x)=\Phi(x^5)-\Phi(0)[/tex3]
Queremos [tex3]F'(1)[/tex3] , então, primeiro derivamos a equação acima:
[tex3]F'(x)=(\Phi(x^5)-\Phi(0))'[/tex3]
Como a derivada da soma é a soma das derivadas:
[tex3]F'(x)=(\Phi(x^5))'-(\Phi(0))'[/tex3]
Como [tex3]\Phi(0)=\text{cte}[/tex3] , então [tex3](\Phi(0))'=0[/tex3] , logo:
[tex3]F'(x)=(\Phi(x^5))'[/tex3]
Usando a regra da cadeia:
[tex3]F'(x)=\Phi'(x^5)\cdot (x^5)'[/tex3]
[tex3]F'(x)=\Phi'(x^5)\cdot5x^4[/tex3]
Mas vimos que [tex3]\Phi' (x)=f(x)[/tex3] , portanto [tex3]\Phi' (x^5)=f(x^5)[/tex3] . Logo:
[tex3]F'(x)=f(x^5)\cdot5x^4[/tex3]
Substituindo [tex3]x=1[/tex3] :
[tex3]F'(1)=f(1^5)\cdot5\cdot1^4[/tex3]
[tex3]F'(1)=f(1)\cdot5[/tex3]
Do enunciado, temos que [tex3]f(1)=5[/tex3] , logo:
[tex3]F'(1)=25[/tex3]
, onde [tex3]\Phi' (x)=f(x)[/tex3]
. Assim, temos:[tex3]F(x)=\int_0^{x^5}f(s)ds[/tex3]
[tex3]F(x)=\Phi(x^5)-\Phi(0)[/tex3]
Queremos [tex3]F'(1)[/tex3] , então, primeiro derivamos a equação acima:
[tex3]F'(x)=(\Phi(x^5)-\Phi(0))'[/tex3]
Como a derivada da soma é a soma das derivadas:
[tex3]F'(x)=(\Phi(x^5))'-(\Phi(0))'[/tex3]
Como [tex3]\Phi(0)=\text{cte}[/tex3] , então [tex3](\Phi(0))'=0[/tex3] , logo:
[tex3]F'(x)=(\Phi(x^5))'[/tex3]
Usando a regra da cadeia:
[tex3]F'(x)=\Phi'(x^5)\cdot (x^5)'[/tex3]
[tex3]F'(x)=\Phi'(x^5)\cdot5x^4[/tex3]
Mas vimos que [tex3]\Phi' (x)=f(x)[/tex3] , portanto [tex3]\Phi' (x^5)=f(x^5)[/tex3] . Logo:
[tex3]F'(x)=f(x^5)\cdot5x^4[/tex3]
Substituindo [tex3]x=1[/tex3] :
[tex3]F'(1)=f(1^5)\cdot5\cdot1^4[/tex3]
[tex3]F'(1)=f(1)\cdot5[/tex3]
Do enunciado, temos que [tex3]f(1)=5[/tex3] , logo:
[tex3]F'(1)=25[/tex3]
[tex3]\color{YellowOrange}\textbf{Não importa o quanto se esforce ou evolua, você sempre estará abaixo do Sol}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
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