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Determine o menor valor que [tex3]x + 2y[/tex3] assume no conjunto definido pelas desigualdades [tex3]\begin{cases}
x+y\geq 1 \\
-x+y\geq -1 \\
x\geq 0, y\geq 0
\end{cases}[/tex3]

Primeiro, como [tex3]f(x,y)=x+2y[/tex3] define um plano no espaço. Sabendo disso, podemos usar o fato de que em uma região do espaço, os máximos e mínimos de um plano podem ocorrer apenas na borda da região. Assim, consideramos as igualdades abaixo:
[tex3]B:\begin{cases}
B_1:x+y=1 \\
B_2:y-x=1 \\
B_3:x=0 \\
B_4:y=0
\end{cases}[/tex3]
Representando a região no plano [tex3]xy[/tex3] :

: B igual B1B2B3B4.png (30.9 KiB) Exibido 293 vezes

Agora, consideramos [tex3]x+2y=c[/tex3] . Nosso objetivo é minimizar [tex3]c[/tex3] , portanto, estudemos seu crescimento:

: c em B1B2B3B4.png (99.95 KiB) Exibido 293 vezes

No desenho acima, as retas em preto representam retas da forma [tex3]x+2y=c[/tex3] , para diferentes valores de [tex3]c[/tex3] . Rearranjando a equação obtemos [tex3]x=c-2y[/tex3] . Assim, vemos que [tex3]c[/tex3] é a intersecção do eixo [tex3]x[/tex3] com a reta. Vemos que quando a reta se move na direção de P para O, [tex3]c[/tex3] aumenta. Portanto, a reta deve atingir seu valor mínimo no ponto de intersecção da região com menor [tex3]y[/tex3] possível. Como [tex3]y\geq0[/tex3] , então o valor mínimo ocorre quando [tex3]y=0[/tex3] . Podemos ver no gráfico que isto ocorre apenas no ponto [tex3](1,0)[/tex3] , mas podemos verificar rigorosamente substituindo [tex3]y=0[/tex3] nas inequações:
[tex3]\begin{cases}
x+0\geq1\implies x\geq1 \\
0-x\geq-1\implies x\leq1 \\
x\geq0 \\
0\geq0
\end{cases}[/tex3]
Tomando a intersecção dos intervalos acima, obtemos apenas o elemento 1. Portanto, o menor valor de [tex3]x+2y[/tex3] ocorre em [tex3](1,0)[/tex3] , ou seja, [tex3]1+2\cdot0=1[/tex3]

Como eu encontro o valor máximo?

Então, nesse caso não tem. Se você analisar a figura, podemos ver que podemos mover a reta na direção de P para O o quanto nós desejarmos. Isso também fica claro nas inequações:
[tex3]\begin{cases}
x+y\geq1\\
y-x\geq-1\\
x\geq0 \\
y\geq0
\end{cases}[/tex3]
Basta fazer [tex3]x=0[/tex3] :
[tex3]\begin{cases}
0+y\geq1\implies y\geq 1\\
y-0\geq-1\implies y\geq-1\\
0\geq0 \\
y\geq0
\end{cases}[/tex3]
A intersecção dessas inequações nos dá [tex3]y\in[1,\infty)[/tex3] . Ou seja, como [tex3]y[/tex3] pode ser tão grande quanto eu queira, então [tex3]x+2y[/tex3] também será.

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