Ensino Superior ⇒ Cálculo I - Limites Tópico resolvido

[Nekololikuro]

Calcule [tex3]\lim_{x \rightarrow \infty} (1+\frac{1}{x})^{x}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{x \rightarrow \infty} (1+\frac{1}{x})^{x}[/tex3]

Resposta

---

[tex3]e [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]e [/tex3]

[rcompany]

[tex3]
\begin{align}
\lim\limits_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x&=\lim_{x\to+\infty}e^{x\ln(1+\frac{1}{x})}\\
&=\lim\limits_{u\to0^+}e^{\frac{\ln(1+u)}{u}}\quad\text{com }u=\frac{1}{x}\\
&=e\quad\text{já que }\lim\limits_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1

\end{align}
[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]
\begin{align}
\lim\limits_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x&=\lim_{x\to+\infty}e^{x\ln(1+\frac{1}{x})}\\
&=\lim\limits_{u\to0^+}e^{\frac{\ln(1+u)}{u}}\quad\text{com }u=\frac{1}{x}\\
&=e\quad\text{já que }\lim\limits_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1

\end{align}
[/tex3]