Ensino Superior

Mensagem não lida por **magben** » 13 Out 2021, 11:34

Calcule [tex3]\int\limits\int\limits_S 2zdS[/tex3] , onde é S é a parte do parabolóide [tex3]z = x^{2}+y^{2}-2[/tex3] abaixo do plano [tex3]xy [/tex3]

Mensagem não lida por **magben** » 15 Out 2021, 17:51

Heeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeelp!

Mensagem não lida por **AnthonyC** » 19 Out 2021, 05:03

Primeiro, podemos caracterizar nossa superfície com coordenadas cilíndricas:
[tex3]\begin{cases}
x=r\cos(\theta) \\
y=r\sen(\theta) \\
z=z
\end{cases}[/tex3]
Assim, temos:
[tex3]z=x^2+y^2-2[/tex3]
[tex3]z=r^2\cos^2(\theta)+r^2\sen^2(\theta)-2[/tex3]
[tex3]z=r^2-2[/tex3]
Como queremos a parte abaixo do plano [tex3]xy[/tex3] , então [tex3]z\leq 0[/tex3] , logo:
[tex3]r^2-2\leq 0[/tex3]
[tex3]r\leq \sqrt2[/tex3]
Como [tex3]r\geq 0[/tex3] , temos:
[tex3]\begin{cases}
0\leq r\leq \sqrt2 \\
0\leq \theta \leq 2\pi\\
\end{cases}[/tex3]
Assim, temos:
[tex3]\iint_S 2zdS=\int_0^{2\pi}\int_0^{\sqrt2}2(r^2-2)|J|drd\theta[/tex3]
Sabemos que para coordenadas cilíndricas, temos que [tex3]|J|=r[/tex3] , logo:
[tex3]\iint_S 2zdS=\int_0^{2\pi}\int_0^{\sqrt2}2(r^2-2)rdrd\theta[/tex3]
[tex3]\iint_S 2zdS=\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^{\sqrt2}2(r^2-2)rdr[/tex3]
[tex3]\iint_S 2zdS=\theta~]_0^{2\pi}\cdot\int_0^{\sqrt2}(2r^3-4r)dr[/tex3]
[tex3]\iint_S 2zdS=2\pi\cdot\({r^4\over2}-2r^2\)_0^\sqrt2[/tex3]
[tex3]\iint_S 2zdS=-4\pi[/tex3]

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