Ensino Superior ⇒ Calculo 2 - Derivada parcial Tópico resolvido

[MylesKennedy]

1_Determine a expressão analítica das derivadas parciais para a função:

D) f(x,y)=[tex3]x^{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^{2}[/tex3]

.sen [tex3]\left(\frac{x}{y}\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left(\frac{x}{y}\right)[/tex3]

Gabarito ( Tinha postado um gabarito errado por equivoco, peço desculpas e agradeço pelo alerta do AnthonyC.

[rcompany]

[tex3]

f(x,y)=x^2\sin(\dfrac{x}{y})\\[12pt]
\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial x}=2x\sin(\dfrac{x}{y})+x^2\cos(\dfrac{x}{y})\cdot\dfrac{1}{y}=x\left(2\sin(\dfrac{x}{y})+\dfrac{x}{y}\cos(\dfrac{x}{y})\right)\\[12pt]
\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial y}=x^2\cos(\dfrac{x}{y})\cdot\dfrac{-x}{y^2}=-\dfrac{x^3}{y^2}\cos(\dfrac{x}{y})
[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]

f(x,y)=x^2\sin(\dfrac{x}{y})\\[12pt]
\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial x}=2x\sin(\dfrac{x}{y})+x^2\cos(\dfrac{x}{y})\cdot\dfrac{1}{y}=x\left(2\sin(\dfrac{x}{y})+\dfrac{x}{y}\cos(\dfrac{x}{y})\right)\\[12pt]
\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial y}=x^2\cos(\dfrac{x}{y})\cdot\dfrac{-x}{y^2}=-\dfrac{x^3}{y^2}\cos(\dfrac{x}{y})
[/tex3]

o gabarito dá as derivadas parciais da função [tex3]f(x,y)=(\sin x)^{\sin y}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x,y)=(\sin x)^{\sin y}[/tex3]

[tex3]
\dfrac{\partial(\sin x)^{\sin y} }{\partial x}=(\sin x)^{=1+\sin y}\cos x\\[12pt]
\dfrac{\partial(\sin x)^{\sin y} }{\partial y}=\dfrac{\partial\, e^{\sin y \ln(\sin x)} }{\partial y}=e^{\sin y \ln(\sin x)}\cos y\ln(\sin x)\\

[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]
\dfrac{\partial(\sin x)^{\sin y} }{\partial x}=(\sin x)^{=1+\sin y}\cos x\\[12pt]
\dfrac{\partial(\sin x)^{\sin y} }{\partial y}=\dfrac{\partial\, e^{\sin y \ln(\sin x)} }{\partial y}=e^{\sin y \ln(\sin x)}\cos y\ln(\sin x)\\

[/tex3]

[AnthonyC]

Antes de resolver, creio que tem um engano, por que a questão que você pediu não tem nada a ver com o gabarito. Pelo que você escreveu, parece que você quer saber sobre a questão "d" mas postou o gabarito da questão "e".

Para derivar parcialmente uma função em relação a uma variável u, consideremos qualquer outra variável e função que não dependa de u como sendo constante:

[tex3]{\partial f\over \partial x}={\partial \over \partial x}\(x^2\cdot\sen\(x\over y\)\)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]{\partial f\over \partial x}={\partial \over \partial x}\(x^2\cdot\sen\(x\over y\)\)[/tex3]

Podemos ver que [tex3]x^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^2[/tex3]

e [tex3]\sen\(x\over y\)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sen\(x\over y\)[/tex3]

são funções que depende de [tex3]x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x[/tex3]

. Como temos derivada de um produto, aplicamos a regra do produto:
[tex3]{\partial f\over \partial x}={\partial \over \partial x}\(x^2\)\cdot\sen\(x\over y\)+x^2\cdot{\partial \over \partial x}\(\sen\(x\over y\)\)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]{\partial f\over \partial x}={\partial \over \partial x}\(x^2\)\cdot\sen\(x\over y\)+x^2\cdot{\partial \over \partial x}\(\sen\(x\over y\)\)[/tex3]

Para a segunda derivada, utilizamos a regra da cadeia, considerando [tex3]1\over y[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]1\over y[/tex3]

como sendo constante:
[tex3]{\partial f\over \partial x}=2x\cdot\sen\(x\over y\)+x^2\cdot\cos\(x\over y\)\cdot{1\over y}[/tex3]


[tex3]{\partial f\over \partial y}={\partial \over \partial y}\(x^2\cdot\sen\(x\over y\)\)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]{\partial f\over \partial y}={\partial \over \partial y}\(x^2\cdot\sen\(x\over y\)\)[/tex3]

Podemos ver que [tex3]x^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^2[/tex3]

não depende de [tex3]y[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y[/tex3]

, assim, tratamos como constante e retiramos da derivada:
[tex3]{\partial f\over \partial y}=x^2\cdot{\partial \over \partial y}\(\sen\(x\over y\)\)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]{\partial f\over \partial y}=x^2\cdot{\partial \over \partial y}\(\sen\(x\over y\)\)[/tex3]

Para a segunda derivada, utilizamos a regra da cadeia, considerando [tex3]x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x[/tex3]

como sendo constante:
[tex3]{\partial f\over \partial y}=x^2\cdot\cos\(x\over y\)\cdot\(-{1\over y^2}\)[/tex3]

[MylesKennedy]

[tex3]

f(x,y)=x^2\sin(\dfrac{x}{y})\\[12pt]
\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial x}=2x\sin(\dfrac{x}{y})+x^2\cos(\dfrac{x}{y})\cdot\dfrac{1}{y}=x\left(2\sin(\dfrac{x}{y})+\dfrac{x}{y}\cos(\dfrac{x}{y})\right)\\[12pt]
\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial y}=x^2\cos(\dfrac{x}{y})\cdot\dfrac{-1}{y^2}=-\dfrac{x^2}{y^2}\cos(\dfrac{x}{y})
[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]

f(x,y)=x^2\sin(\dfrac{x}{y})\\[12pt]
\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial x}=2x\sin(\dfrac{x}{y})+x^2\cos(\dfrac{x}{y})\cdot\dfrac{1}{y}=x\left(2\sin(\dfrac{x}{y})+\dfrac{x}{y}\cos(\dfrac{x}{y})\right)\\[12pt]
\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial y}=x^2\cos(\dfrac{x}{y})\cdot\dfrac{-1}{y^2}=-\dfrac{x^2}{y^2}\cos(\dfrac{x}{y})
[/tex3]

[o gabarito dá as derivadas parciais da função [tex3]f(x,y)=(\sin x)^{\sin y}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x,y)=(\sin x)^{\sin y}[/tex3]

Amigo obrigado pela atenção e disposição de ajudar. TMj

[MylesKennedy]

Antes de resolver, creio que tem um engano, por que a questão que você pediu não tem nada a ver com o gabarito. Pelo que você escreveu, parece que você quer saber sobre a questão "d" mas postou o gabarito da questão "e".

Para derivar parcialmente uma função em relação a uma variável u, consideremos qualquer outra variável e função que não dependa de u como sendo constante:

[tex3]{\partial f\over \partial x}={\partial \over \partial x}\(x^2\cdot\sen\(x\over y\)\)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]{\partial f\over \partial x}={\partial \over \partial x}\(x^2\cdot\sen\(x\over y\)\)[/tex3]

Podemos ver que [tex3]x^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^2[/tex3]

e [tex3]\sen\(x\over y\)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sen\(x\over y\)[/tex3]

são funções que depende de [tex3]x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x[/tex3]

. Como temos derivada de um produto, aplicamos a regra do produto:
[tex3]{\partial f\over \partial x}={\partial \over \partial x}\(x^2\)\cdot\sen\(x\over y\)+x^2\cdot{\partial \over \partial x}\(\sen\(x\over y\)\)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]{\partial f\over \partial x}={\partial \over \partial x}\(x^2\)\cdot\sen\(x\over y\)+x^2\cdot{\partial \over \partial x}\(\sen\(x\over y\)\)[/tex3]

Para a segunda derivada, utilizamos a regra da cadeia, considerando [tex3]1\over y[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]1\over y[/tex3]

como sendo constante:
[tex3]{\partial f\over \partial x}=2x\cdot\sen\(x\over y\)+x^2\cdot\cos\(x\over y\)\cdot{1\over y}[/tex3]


[tex3]{\partial f\over \partial y}={\partial \over \partial y}\(x^2\cdot\sen\(x\over y\)\)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]{\partial f\over \partial y}={\partial \over \partial y}\(x^2\cdot\sen\(x\over y\)\)[/tex3]

Podemos ver que [tex3]x^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^2[/tex3]

não depende de [tex3]y[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y[/tex3]

, assim, tratamos como constante e retiramos da derivada:
[tex3]{\partial f\over \partial y}=x^2\cdot{\partial \over \partial y}\(\sen\(x\over y\)\)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]{\partial f\over \partial y}=x^2\cdot{\partial \over \partial y}\(\sen\(x\over y\)\)[/tex3]

Para a segunda derivada, utilizamos a regra da cadeia, considerando [tex3]x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x[/tex3]

como sendo constante:
[tex3]{\partial f\over \partial y}=x^2\cdot\cos\(x\over y\)\cdot\(-{1\over y^2}\)[/tex3]

Primeiramente obrigado pelo alerta, não tinha notado que selecionei a imagem errada. Peço desculpas a todos.
Também obrigado pela resposta e pela disposição em ajudar, hoje em dia não é fácil achar alguém que saiba CDI 2.
Vlw mesmo.

[AnthonyC]

Só uma errata, na derivada em relação a y esqueci de mudar os expoente do x. Quando fazemos a derivada da função interna, a constante x deveria aparecer na derivada também, ou melhor dizendo, deveria ser [tex3]-{x\over y^2}[/tex3]

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[tex3]-{x\over y^2}[/tex3]

, então você junta este x com o [tex3]x^2[/tex3]

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[tex3]x^2[/tex3]

, ficando [tex3]x^3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^3[/tex3]

. Porém há um sinal de menos extra no gabarito que também está incorreto. Resumindo, a resposta final deveria ser [tex3]{\partial f\over \partial y}=-{x^3\over y^2}\cos\(x\over y\)[/tex3]