[tex3]\int\limits_{}^{ }\int\limits_{S}^{}F \times \vec{\eta} dS[/tex3]
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Resposta: [tex3]=\frac{567}{2}\pi [/tex3]
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
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Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Ensino Superior ⇒ Integral de Superfície Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
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magben
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Out 2021
10
22:20
Integral de Superfície
Sejam S: [tex3]z=9-x^{2}-y^{2},z\geq 0[/tex3]
e [tex3]F=(x,y,z)=3x\vec{i}+3y\vec{j}+z\vec{k}[/tex3]
[tex3]\int\limits_{}^{ }\int\limits_{S}^{}F \times \vec{\eta} dS[/tex3]
Resposta: [tex3]=\frac{567}{2}\pi [/tex3]
[tex3]\int\limits_{}^{ }\int\limits_{S}^{}F \times \vec{\eta} dS[/tex3]
Resposta: [tex3]=\frac{567}{2}\pi [/tex3]
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joaopcarv
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Out 2021
14
17:16
Re: Integral de Superfície
Acredito ser [tex3]\mathsf{\int\int_S \ \vec{F} \cdot \vec{n} \ dS.}[/tex3]
Vamos parametrizar a superfície por [tex3]\mathsf{(u,v) \ \rightarrow}[/tex3]
[tex3]\mathsf{x \ \rightarrow \ u, \ y \ \rightarrow \ v:}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\phi(u,v) \ = \ \big(u, \ v, \ 9 \ - \ u^2 \ - \ v^2 \big) \ :}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\dfrac{\partial \phi(u,v)}{\partial u} \ = \ (1,0,-2\cdot u)}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\dfrac{\partial \phi(u,v)}{\partial v} \ = \ (0,1,-2\cdot v)}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\vec{n} \ = \ \dfrac{\partial \phi(u,v)}{\partial u} \ \times \ \dfrac{\partial \phi(u,v)}{\partial v} \ = \ (2\cdot u, 2\cdot v, 1)}[/tex3]
Aplicando [tex3]\mathsf{\vec{F}}[/tex3] em [tex3]\phi:[/tex3]
[tex3]\mathsf{\vec{F(\phi)} \ = \ \big(3 \cdot u, 3 \cdot v, \ 9 \ - \ u^2 \ - \ v^2\big)}[/tex3]
Fazendo o produto escalar [tex3]\mathsf{\vec{F} \cdot \vec{n} \ = \ 9 \ + \ 5\cdot \big(u^2 \ + \ v^2\big)}[/tex3]
A integral de superficie então é [tex3]\mathsf{\int \int_S \ \big(9 \ + \ 5\cdot\big(u^2 \ + \ v^2 \big)\big) \ dudv}[/tex3]
Mudando a parametrização para [tex3]\mathsf{(r, \theta): \ u \ = \ r\cdot cos(\theta), v \ = \ r \cdot \sin(\theta).}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\circ \ dudv \ = \ rdrd\theta;}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\circ \ 0 \leq r \leq 3;}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\circ \ 0 \leq \theta \leq 2\cdot \pi;}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\int_{0}^{2\cdot \pi} \ \int_{0}^{3} \ \big(9 \ + \ 5\cdot r^2\big) \cdot r \ drd\theta \ = \ \boxed{\mathsf{\dfrac{567 \cdot \pi}{2}}}}[/tex3]
Vamos parametrizar a superfície por [tex3]\mathsf{(u,v) \ \rightarrow}[/tex3]
[tex3]\mathsf{x \ \rightarrow \ u, \ y \ \rightarrow \ v:}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\phi(u,v) \ = \ \big(u, \ v, \ 9 \ - \ u^2 \ - \ v^2 \big) \ :}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\dfrac{\partial \phi(u,v)}{\partial u} \ = \ (1,0,-2\cdot u)}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\dfrac{\partial \phi(u,v)}{\partial v} \ = \ (0,1,-2\cdot v)}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\vec{n} \ = \ \dfrac{\partial \phi(u,v)}{\partial u} \ \times \ \dfrac{\partial \phi(u,v)}{\partial v} \ = \ (2\cdot u, 2\cdot v, 1)}[/tex3]
Aplicando [tex3]\mathsf{\vec{F}}[/tex3] em [tex3]\phi:[/tex3]
[tex3]\mathsf{\vec{F(\phi)} \ = \ \big(3 \cdot u, 3 \cdot v, \ 9 \ - \ u^2 \ - \ v^2\big)}[/tex3]
Fazendo o produto escalar [tex3]\mathsf{\vec{F} \cdot \vec{n} \ = \ 9 \ + \ 5\cdot \big(u^2 \ + \ v^2\big)}[/tex3]
A integral de superficie então é [tex3]\mathsf{\int \int_S \ \big(9 \ + \ 5\cdot\big(u^2 \ + \ v^2 \big)\big) \ dudv}[/tex3]
Mudando a parametrização para [tex3]\mathsf{(r, \theta): \ u \ = \ r\cdot cos(\theta), v \ = \ r \cdot \sin(\theta).}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\circ \ dudv \ = \ rdrd\theta;}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\circ \ 0 \leq r \leq 3;}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\circ \ 0 \leq \theta \leq 2\cdot \pi;}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\int_{0}^{2\cdot \pi} \ \int_{0}^{3} \ \big(9 \ + \ 5\cdot r^2\big) \cdot r \ drd\theta \ = \ \boxed{\mathsf{\dfrac{567 \cdot \pi}{2}}}}[/tex3]
Editado pela última vez por joaopcarv em 14 Out 2021, 17:19, em um total de 1 vez.
That's all I'd do all day. I'd just be the catcher in the rye and all.
"Last year's wishes are this year's apologies... Every last time I come home (...)"
Poli-USP
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AnthonyC
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Out 2021
21
19:26
Re: Integral de Superfície
Outra forma de resolver seria por Teorema da Divergência:
Temos:
[tex3]\nabla\odot \vec{F}={\partial \vec{F}_x\over \partial x}+{\partial \vec{F}_y\over \partial y}+{\partial \vec{F}_z\over \partial z}[/tex3]
[tex3]\nabla\odot \vec{F}=3+3+1=7[/tex3]
Vamos agora definir nossa região de integração por coordenadas cilíndricas:
[tex3]\begin{cases}
x=r\cos(\theta) \\
y=r\sen(\theta) \\
z=z
\end{cases}[/tex3]
Temos:
[tex3]z=9-x^2-y^2[/tex3]
[tex3]z=9-r^2[/tex3]
Temos que [tex3]z\geq0[/tex3] , logo: [tex3]r\leq 3[/tex3] . Como nossa região está abaixo do paraboloide, temos:
[tex3]E:\begin{cases}
0\leq z\leq 9-r^2 \\
0\leq r\leq 3 \\
0\leq \theta\leq 2\pi
\end{cases}[/tex3]
Logo:
[tex3]\iint_S\vec{F}\odot \vec{n}dS=\iiint_E\nabla\odot \vec{F}dV[/tex3]
[tex3]\iint_S\vec{F}\odot \vec{n}dS=\int_0^{2\pi}\int_0^{3}\int_0^{9-r^2}7|J|dzdrd\theta[/tex3]
Sabemos que para coordenas esféricas, [tex3]|J|=r[/tex3] , logo:
[tex3]\iint_S\vec{F}\odot \vec{n}dS=\int_0^{2\pi}\int_0^{3}\int_0^{9-r^2}7rdzdrd\theta[/tex3]
[tex3]\iint_S\vec{F}\odot \vec{n}dS=7\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^{3}\int_0^{9-r^2}rdz dr[/tex3]
[tex3]\iint_S\vec{F}\odot \vec{n}dS=7[\theta]^{2\pi}\int_0^{3}[rz]^{9-r^2}dr[/tex3]
[tex3]\iint_S\vec{F}\odot \vec{n}dS=14\pi\int_0^{3}[9r-r^3]dr[/tex3]
[tex3]\iint_S\vec{F}\odot \vec{n}dS=14\pi\[{9r^2\over 2}-{r^4\over4}\]_0^3[/tex3]
[tex3]\iint_S\vec{F}\odot \vec{n}dS=14\pi\[{81\over 2}-{81\over4}\][/tex3]
[tex3]\iint_S\vec{F}\odot \vec{n}dS={567\pi\over 2}[/tex3]
Seja [tex3]E[/tex3] uma região sólida simples e seja [tex3]S[/tex3] a superfície fronteira de [tex3]E[/tex3], orientada positivamente (para fora). Seja [tex3]\vec{F}[/tex3] um campo vetorial cujas componentes tenha derivadas parciais contínuas em uma região aberta que contenha [tex3]E[/tex3]. Sob essas hipóteses, tem-se:
[tex3]\iint_S\vec{F}\odot \vec{n}dS=\iiint_E\nabla\odot \vec{F}dV[/tex3]
Temos:
[tex3]\nabla\odot \vec{F}={\partial \vec{F}_x\over \partial x}+{\partial \vec{F}_y\over \partial y}+{\partial \vec{F}_z\over \partial z}[/tex3]
[tex3]\nabla\odot \vec{F}=3+3+1=7[/tex3]
Vamos agora definir nossa região de integração por coordenadas cilíndricas:
[tex3]\begin{cases}
x=r\cos(\theta) \\
y=r\sen(\theta) \\
z=z
\end{cases}[/tex3]
Temos:
[tex3]z=9-x^2-y^2[/tex3]
[tex3]z=9-r^2[/tex3]
Temos que [tex3]z\geq0[/tex3] , logo: [tex3]r\leq 3[/tex3] . Como nossa região está abaixo do paraboloide, temos:
[tex3]E:\begin{cases}
0\leq z\leq 9-r^2 \\
0\leq r\leq 3 \\
0\leq \theta\leq 2\pi
\end{cases}[/tex3]
Logo:
[tex3]\iint_S\vec{F}\odot \vec{n}dS=\iiint_E\nabla\odot \vec{F}dV[/tex3]
[tex3]\iint_S\vec{F}\odot \vec{n}dS=\int_0^{2\pi}\int_0^{3}\int_0^{9-r^2}7|J|dzdrd\theta[/tex3]
Sabemos que para coordenas esféricas, [tex3]|J|=r[/tex3] , logo:
[tex3]\iint_S\vec{F}\odot \vec{n}dS=\int_0^{2\pi}\int_0^{3}\int_0^{9-r^2}7rdzdrd\theta[/tex3]
[tex3]\iint_S\vec{F}\odot \vec{n}dS=7\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^{3}\int_0^{9-r^2}rdz dr[/tex3]
[tex3]\iint_S\vec{F}\odot \vec{n}dS=7[\theta]^{2\pi}\int_0^{3}[rz]^{9-r^2}dr[/tex3]
[tex3]\iint_S\vec{F}\odot \vec{n}dS=14\pi\int_0^{3}[9r-r^3]dr[/tex3]
[tex3]\iint_S\vec{F}\odot \vec{n}dS=14\pi\[{9r^2\over 2}-{r^4\over4}\]_0^3[/tex3]
[tex3]\iint_S\vec{F}\odot \vec{n}dS=14\pi\[{81\over 2}-{81\over4}\][/tex3]
[tex3]\iint_S\vec{F}\odot \vec{n}dS={567\pi\over 2}[/tex3]
[tex3]\color{YellowOrange}\textbf{Não importa o quanto se esforce ou evolua, você sempre estará abaixo do Sol}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
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