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Mensagem não lidapor **magben** » Dom 10 Out, 2021 22:20 · Mensagem não lida por **magben** » Dom 10 Out, 2021 22:20

Sejam S: [tex3]z=9-x^{2}-y^{2},z\geq 0[/tex3] e [tex3]F=(x,y,z)=3x\vec{i}+3y\vec{j}+z\vec{k}[/tex3]

[tex3]\int\limits_{}^{ }\int\limits_{S}^{}F \times \vec{\eta} dS[/tex3]

: Capturar.PNG (22.04 KiB) Exibido 733 vezes

Resposta: [tex3]=\frac{567}{2}\pi [/tex3]

Acredito ser [tex3]\mathsf{\int\int_S \ \vec{F} \cdot \vec{n} \ dS.}[/tex3]

Vamos parametrizar a superfície por [tex3]\mathsf{(u,v) \ \rightarrow}[/tex3]

[tex3]\mathsf{x \ \rightarrow \ u, \ y \ \rightarrow \ v:}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\phi(u,v) \ = \ \big(u, \ v, \ 9 \ - \ u^2 \ - \ v^2 \big) \ :}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\dfrac{\partial \phi(u,v)}{\partial u} \ = \ (1,0,-2\cdot u)}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\dfrac{\partial \phi(u,v)}{\partial v} \ = \ (0,1,-2\cdot v)}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\vec{n} \ = \ \dfrac{\partial \phi(u,v)}{\partial u} \ \times \ \dfrac{\partial \phi(u,v)}{\partial v} \ = \ (2\cdot u, 2\cdot v, 1)}[/tex3]

Aplicando [tex3]\mathsf{\vec{F}}[/tex3] em [tex3]\phi:[/tex3]

[tex3]\mathsf{\vec{F(\phi)} \ = \ \big(3 \cdot u, 3 \cdot v, \ 9 \ - \ u^2 \ - \ v^2\big)}[/tex3]

Fazendo o produto escalar [tex3]\mathsf{\vec{F} \cdot \vec{n} \ = \ 9 \ + \ 5\cdot \big(u^2 \ + \ v^2\big)}[/tex3]

A integral de superficie então é [tex3]\mathsf{\int \int_S \ \big(9 \ + \ 5\cdot\big(u^2 \ + \ v^2 \big)\big) \ dudv}[/tex3]

Mudando a parametrização para [tex3]\mathsf{(r, \theta): \ u \ = \ r\cdot cos(\theta), v \ = \ r \cdot \sin(\theta).}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\circ \ dudv \ = \ rdrd\theta;}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\circ \ 0 \leq r \leq 3;}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\circ \ 0 \leq \theta \leq 2\cdot \pi;}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\int_{0}^{2\cdot \pi} \ \int_{0}^{3} \ \big(9 \ + \ 5\cdot r^2\big) \cdot r \ drd\theta \ = \ \boxed{\mathsf{\dfrac{567 \cdot \pi}{2}}}}[/tex3]

Outra forma de resolver seria por Teorema da Divergência:

Seja [tex3]E[/tex3] uma região sólida simples e seja [tex3]S[/tex3] a superfície fronteira de [tex3]E[/tex3], orientada positivamente (para fora). Seja [tex3]\vec{F}[/tex3] um campo vetorial cujas componentes tenha derivadas parciais contínuas em uma região aberta que contenha [tex3]E[/tex3]. Sob essas hipóteses, tem-se:
[tex3]\iint_S\vec{F}\odot \vec{n}dS=\iiint_E\nabla\odot \vec{F}dV[/tex3]

Temos:
[tex3]\nabla\odot \vec{F}={\partial \vec{F}_x\over \partial x}+{\partial \vec{F}_y\over \partial y}+{\partial \vec{F}_z\over \partial z}[/tex3]
[tex3]\nabla\odot \vec{F}=3+3+1=7[/tex3]
Vamos agora definir nossa região de integração por coordenadas cilíndricas:
[tex3]\begin{cases}
x=r\cos(\theta) \\
y=r\sen(\theta) \\
z=z
\end{cases}[/tex3]
Temos:
[tex3]z=9-x^2-y^2[/tex3]
[tex3]z=9-r^2[/tex3]
Temos que [tex3]z\geq0[/tex3] , logo: [tex3]r\leq 3[/tex3] . Como nossa região está abaixo do paraboloide, temos:
[tex3]E:\begin{cases}
0\leq z\leq 9-r^2 \\
0\leq r\leq 3 \\
0\leq \theta\leq 2\pi
\end{cases}[/tex3]
Logo:
[tex3]\iint_S\vec{F}\odot \vec{n}dS=\iiint_E\nabla\odot \vec{F}dV[/tex3]
[tex3]\iint_S\vec{F}\odot \vec{n}dS=\int_0^{2\pi}\int_0^{3}\int_0^{9-r^2}7|J|dzdrd\theta[/tex3]
Sabemos que para coordenas esféricas, [tex3]|J|=r[/tex3] , logo:
[tex3]\iint_S\vec{F}\odot \vec{n}dS=\int_0^{2\pi}\int_0^{3}\int_0^{9-r^2}7rdzdrd\theta[/tex3]
[tex3]\iint_S\vec{F}\odot \vec{n}dS=7\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^{3}\int_0^{9-r^2}rdz dr[/tex3]
[tex3]\iint_S\vec{F}\odot \vec{n}dS=7[\theta]^{2\pi}\int_0^{3}[rz]^{9-r^2}dr[/tex3]
[tex3]\iint_S\vec{F}\odot \vec{n}dS=14\pi\int_0^{3}[9r-r^3]dr[/tex3]
[tex3]\iint_S\vec{F}\odot \vec{n}dS=14\pi\[{9r^2\over 2}-{r^4\over4}\]_0^3[/tex3]
[tex3]\iint_S\vec{F}\odot \vec{n}dS=14\pi\[{81\over 2}-{81\over4}\][/tex3]
[tex3]\iint_S\vec{F}\odot \vec{n}dS={567\pi\over 2}[/tex3]

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