[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 5}[/tex3] ([tex3]\frac{f(x)}{x-5}[/tex3] ) = 60
Se escrevermos
[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 5}[/tex3] ([tex3]\frac{sen(f(x))}{x^{2}-25}[/tex3] ) = A
o valor de A é:
Resposta
6
Ensino Superior ⇒ Calculo 1, limites Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Out 2021
08
16:07
Calculo 1, limites
Seja f uma função tal que
[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 5}[/tex3] ([tex3]\frac{f(x)}{x-5}[/tex3] ) = 60
Se escrevermos
[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 5}[/tex3] ([tex3]\frac{sen(f(x))}{x^{2}-25}[/tex3] ) = A
o valor de A é:
6
[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 5}[/tex3] ([tex3]\frac{f(x)}{x-5}[/tex3] ) = 60
Se escrevermos
[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 5}[/tex3] ([tex3]\frac{sen(f(x))}{x^{2}-25}[/tex3] ) = A
o valor de A é:
6
Out 2021
22
22:07
Re: Calculo 1, limites
Primeiro, encontremos [tex3]\lim_{x\rightarrow5}f(x)[/tex3]
. Temos que [tex3]\lim_{x\rightarrow 5}{f(x) \over x-5}=60[/tex3]
. Logo:
[tex3]\lim_{x\rightarrow 5}{f(x) \over x-5}\cdot \lim_{x\rightarrow 5}(x-5)[/tex3]
Como ambos os limites existem, então podemos uni-los:
[tex3]\lim_{x\rightarrow 5}{f(x) \over x-5}\cdot (x-5)=\lim_{x\rightarrow 5}{f(x) \over x-5}\cdot \lim_{x\rightarrow 5}(x-5)[/tex3]
[tex3]\lim_{x\rightarrow 5}{f(x) }=60\cdot 0[/tex3]
[tex3]\lim_{x\rightarrow 5}{f(x) }=0[/tex3]
Agora, consideremos o limite desejado:
[tex3]A=\lim_{x\rightarrow 5}{\sen(f(x))\over x^2-25}[/tex3]
[tex3]A=\lim_{x\rightarrow 5}{\sen(f(x))\over (x-5)(x+5)}[/tex3]
[tex3]A=\lim_{x\rightarrow 5}{\sen(f(x))\over x-5}\cdot \lim_{x\rightarrow 5}{1\over x+5}[/tex3]
[tex3]A=\lim_{x\rightarrow 5}{\sen(f(x))\over x-5}\cdot {1\over10}[/tex3]
[tex3]A={1\over10}\lim_{x\rightarrow 5}{\sen(f(x))\over x-5}\cdot{f(x)\over f(x)}[/tex3]
[tex3]A={1\over10}\lim_{x\rightarrow 5}{\sen(f(x))\over f(x)}\cdot{f(x)\over x-5}[/tex3]
[tex3]A={1\over10}\lim_{x\rightarrow 5}{\sen(f(x))\over f(x)}\cdot\lim_{x\rightarrow 5}{f(x)\over x-5}[/tex3]
[tex3]A={1\over10}\lim_{x\rightarrow 5}{\sen(f(x))\over f(x)}\cdot60[/tex3]
[tex3]A=6\lim_{x\rightarrow 5}{\sen(f(x))\over f(x)}[/tex3]
Fazendo a substituição [tex3]\begin{cases}
u=f(x) \\
x\rightarrow 5\implies u\rightarrow 0\end{cases}[/tex3] , temos:
[tex3]\lim_{x\rightarrow 5}{\sen(f(x))\over x^2-25}=6\lim_{u\rightarrow 0}{\sen(u)\over u}[/tex3]
Sabemos que [tex3]\lim_{u\rightarrow 0}{\sen(u)\over u}=1[/tex3] , logo:
[tex3]A=6[/tex3]
[tex3]\lim_{x\rightarrow 5}{f(x) \over x-5}\cdot \lim_{x\rightarrow 5}(x-5)[/tex3]
Como ambos os limites existem, então podemos uni-los:
[tex3]\lim_{x\rightarrow 5}{f(x) \over x-5}\cdot (x-5)=\lim_{x\rightarrow 5}{f(x) \over x-5}\cdot \lim_{x\rightarrow 5}(x-5)[/tex3]
[tex3]\lim_{x\rightarrow 5}{f(x) }=60\cdot 0[/tex3]
[tex3]\lim_{x\rightarrow 5}{f(x) }=0[/tex3]
Agora, consideremos o limite desejado:
[tex3]A=\lim_{x\rightarrow 5}{\sen(f(x))\over x^2-25}[/tex3]
[tex3]A=\lim_{x\rightarrow 5}{\sen(f(x))\over (x-5)(x+5)}[/tex3]
[tex3]A=\lim_{x\rightarrow 5}{\sen(f(x))\over x-5}\cdot \lim_{x\rightarrow 5}{1\over x+5}[/tex3]
[tex3]A=\lim_{x\rightarrow 5}{\sen(f(x))\over x-5}\cdot {1\over10}[/tex3]
[tex3]A={1\over10}\lim_{x\rightarrow 5}{\sen(f(x))\over x-5}\cdot{f(x)\over f(x)}[/tex3]
[tex3]A={1\over10}\lim_{x\rightarrow 5}{\sen(f(x))\over f(x)}\cdot{f(x)\over x-5}[/tex3]
[tex3]A={1\over10}\lim_{x\rightarrow 5}{\sen(f(x))\over f(x)}\cdot\lim_{x\rightarrow 5}{f(x)\over x-5}[/tex3]
[tex3]A={1\over10}\lim_{x\rightarrow 5}{\sen(f(x))\over f(x)}\cdot60[/tex3]
[tex3]A=6\lim_{x\rightarrow 5}{\sen(f(x))\over f(x)}[/tex3]
Fazendo a substituição [tex3]\begin{cases}
u=f(x) \\
x\rightarrow 5\implies u\rightarrow 0\end{cases}[/tex3] , temos:
[tex3]\lim_{x\rightarrow 5}{\sen(f(x))\over x^2-25}=6\lim_{u\rightarrow 0}{\sen(u)\over u}[/tex3]
Sabemos que [tex3]\lim_{u\rightarrow 0}{\sen(u)\over u}=1[/tex3] , logo:
[tex3]A=6[/tex3]
Última edição: AnthonyC (Sex 22 Out, 2021 22:11). Total de 1 vez.
[tex3]\color{YellowOrange}\textbf{Não importa o quanto se esforce ou evolua, você sempre estará abaixo do Sol}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
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