Ensino Superior ⇒ Cálculo 1, integral Tópico resolvido

[neonexe]

Considere a região plana R delimitada pelas retas x = -[tex3]\frac{\pi }{36}[/tex3]

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[tex3]\frac{\pi }{36}[/tex3]

, x = [tex3]\frac{\pi }{36}[/tex3]

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[tex3]\frac{\pi }{36}[/tex3]

e pelas curvas y = 9sec(9x), y = f(x), onde f(x) > 9sec(9x) e [tex3]\int\limits_{-\frac{\pi }{36}}^{\frac{\pi }{36}} f(x)^{2}dx=54[/tex3]

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[tex3]\int\limits_{-\frac{\pi }{36}}^{\frac{\pi }{36}} f(x)^{2}dx=54[/tex3]

Se o volume V do sólido gerado pela rotação de R em torno do eixo x é V = [tex3]\pi \alpha [/tex3]

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[tex3]\pi \alpha [/tex3]

, calcule [tex3]\alpha .[/tex3]

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[tex3]\alpha .[/tex3]

Resposta

---

36

[rcompany]

[tex3]
\begin{align}
V&=\int_{-\frac{\pi}{36}}^{\frac{\pi}{36}}\pi\left([f(x)]^2-81\sec^2(9x)\right)\mathrm{d}x\\
&=\pi\left(\int_{-\frac{\pi}{36}}^{\frac{\pi}{36}}[f(x)]^2\mathrm{d}x -\int_{-\frac{\pi}{36}}^{\frac{\pi}{36}}81\sec^2(9x)\mathrm{d}x\right)\\
&=\pi\left(54 -9\left[\tan(9x)\right]_{\!-\!\frac{\pi}{36}}^{\,\frac{\pi}{36}}\right)\\
&=\pi\left(54-9\tan(\dfrac{\pi}{4})+9\tan(-\dfrac{\pi}{4})\right)\\
&=\pi\left(54-9\cdot2\tan(\frac{\pi}{4})\right)\\
&=36\pi
\end{align}
[/tex3]

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[tex3]
\begin{align}
V&=\int_{-\frac{\pi}{36}}^{\frac{\pi}{36}}\pi\left([f(x)]^2-81\sec^2(9x)\right)\mathrm{d}x\\
&=\pi\left(\int_{-\frac{\pi}{36}}^{\frac{\pi}{36}}[f(x)]^2\mathrm{d}x -\int_{-\frac{\pi}{36}}^{\frac{\pi}{36}}81\sec^2(9x)\mathrm{d}x\right)\\
&=\pi\left(54 -9\left[\tan(9x)\right]_{\!-\!\frac{\pi}{36}}^{\,\frac{\pi}{36}}\right)\\
&=\pi\left(54-9\tan(\dfrac{\pi}{4})+9\tan(-\dfrac{\pi}{4})\right)\\
&=\pi\left(54-9\cdot2\tan(\frac{\pi}{4})\right)\\
&=36\pi
\end{align}
[/tex3]

[tex3]
\boxed{\hspace{0.5cm}\\[8pt]\hspace{0.5cm}\alpha=36\hspace{0.5cm}\\\hspace{0.5cm}}\\
[/tex3]

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[tex3]
\boxed{\hspace{0.5cm}\\[8pt]\hspace{0.5cm}\alpha=36\hspace{0.5cm}\\\hspace{0.5cm}}\\
[/tex3]