Seja [tex3]F=(r,\theta,t)=f(x,y,t)[/tex3]
[tex3]\dfrac{\partial^2f}{\partial t^2}=c^2\left[\dfrac{\partial^2f}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2f}{\partial y^2}\right][/tex3]
.
Mostre que
[tex3]\dfrac{\partial^2F}{\partial t^2}=c^2\left[\dfrac{\partial^2F}{\partial r^2}+\dfrac{1}{r^2}\dfrac{\partial^2F}{\partial\theta^2}+\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial F}{\partial r}\right][/tex3]
.
onde [tex3]x=r\cos\theta[/tex3]
e [tex3]y=r\sen\theta[/tex3]
. Suponha que ([tex3]c\neq0[/tex3]
constante)Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero )
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero )
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Ensino Superior ⇒ Regra da cadeia - derivadas parciais Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Set 2021
08
09:28
Regra da cadeia - derivadas parciais
Editado pela última vez por Stich em 08 Set 2021, 09:30, em um total de 2 vezes.
Set 2021
08
14:10
Re: Regra da cadeia - derivadas parciais
Vou usar as seguintes notações para as derivadas parciais [tex3]\dfrac{\partial f}{\partial x}=f_x,\dfrac{\partial f}{\partial y}=f_y, \dfrac{\partial f}{\partial x\partial y}=f_{xy}\,\,\,\mbox{e}\,\,\,\dfrac{\partial f}{\partial y\partial x}=f_{yx}[/tex3]
Como [tex3]F(r,\theta,t)=f(x,y,t)[/tex3] , devemos mostrar que [tex3]F_{rr}+\dfrac{1}{r^2}F_{\theta\theta}+\dfrac{1}{r}F_{r}=f_xx+f_yy[/tex3]
Derivando parcialmente em relação a r
[tex3]F_r=f_xx_r+f_yy_r+f_tt_r=\cos\theta f_x+\sen\theta f_y[/tex3] pois [tex3]t_r=0[/tex3]
Dividindo por r
[tex3]\dfrac{1}{r}F_r=\dfrac{1}{r}\cos\theta f_x+\dfrac{1}{r}\sen\theta f_y\quad\quad(1)[/tex3]
Derivando novamente em relação a r
[tex3]F_{rr}=(f_{xx}x_r+f_{yx}y_r+f_{tx}t_r)x_r+f_xx_{rr}+(f_{xy}x_r+f_{yy}y_r+f_{ty}t_r)y_r+f_yy_{rr}[/tex3]
Seja [tex3]x_r=\cos\theta,x_{rr}=0,y_r=\sen\theta\,\,\mbox{e}\,\,\,y_{rr}=0[/tex3] , substituindo temos
[tex3]F_{rr}=\cos^2\theta f_{xx}+2\sen\theta\cos\theta f_{xy}+\sen^2\theta f_{yy}\quad\quad(2)[/tex3]
Derivando parcialmente em relação a [tex3]\theta[/tex3]
[tex3]F_{\theta}=f_xx_\theta+f_yy_\theta+f_tt_\theta=-r\cos\theta f_x+r\cos\theta f_y[/tex3]
Derivando novamente em relação a [tex3]\theta[/tex3]
[tex3]F_{\theta\theta}=(f_{xx}x_\theta+f_{yx}y_\theta+f_{ty}t_{\theta})x_\theta+f_xx_{\theta\theta}+(f_{xy}x_\theta+f_{yy}y_{\theta}+f_{tx}t_{\theta})y_{\theta}+f_yy_{\theta\theta}[/tex3]
Temos que [tex3]x_\theta=-r\sen\theta,y_\theta=rcos\theta,x_{\theta\theta}=-r\cos\theta,y_{\theta\theta}=-r\sen\theta\,\,\,\mbox{e}\,\,\,t_\theta=0[/tex3] , substituindo
[tex3]F_{\theta\theta}=r^2\sen^2\theta f_{xx}-2r^2\sen\theta\cos\theta f_{xy}+r^2\cos^2f{yy}-r\cos\theta f_x-r\sen\theta f_y[/tex3]
Dividindo por [tex3]r^2[/tex3]
[tex3]\dfrac{1}{r^2}F_{\theta\theta}=\sen^2\theta f_{xx}-2\sen\theta\cos\theta f_{xy}+cos^2f_{yy}-\dfrac{1}{r}\cos\theta f_x-\dfrac{1}{r}\sen\theta f_y\quad\quad(3)[/tex3]
Somando (1), (2) e (3), chegamos
[tex3]F_{rr}+\dfrac{1}{r^2}F_{\theta\theta}+\dfrac{1}{r}F_{r}=(\cos^2\theta f_{xx}+2\sen\theta\cos\theta f_{xy}+\sen^2\theta f_{yy})+(\sen^2\theta f_{xx}-2\sen\theta\cos\theta f_{xy}+cos^2\theta f_{yy}-\dfrac{1}{r}\cos\theta f_x-\dfrac{1}{r}\sen\theta f_y)+(\dfrac{1}{r}\cos\theta f_x+\dfrac{1}{r}\sen\theta f_y)[/tex3]
[tex3]\Rightarrow F_{rr}+\dfrac{1}{r^2}F_{\theta\theta}+\dfrac{1}{r}F_{r}=f_{xx}+f_{yy}[/tex3]
as outras são análogas Como [tex3]F(r,\theta,t)=f(x,y,t)[/tex3] , devemos mostrar que [tex3]F_{rr}+\dfrac{1}{r^2}F_{\theta\theta}+\dfrac{1}{r}F_{r}=f_xx+f_yy[/tex3]
Derivando parcialmente em relação a r
[tex3]F_r=f_xx_r+f_yy_r+f_tt_r=\cos\theta f_x+\sen\theta f_y[/tex3] pois [tex3]t_r=0[/tex3]
Dividindo por r
[tex3]\dfrac{1}{r}F_r=\dfrac{1}{r}\cos\theta f_x+\dfrac{1}{r}\sen\theta f_y\quad\quad(1)[/tex3]
Derivando novamente em relação a r
[tex3]F_{rr}=(f_{xx}x_r+f_{yx}y_r+f_{tx}t_r)x_r+f_xx_{rr}+(f_{xy}x_r+f_{yy}y_r+f_{ty}t_r)y_r+f_yy_{rr}[/tex3]
Seja [tex3]x_r=\cos\theta,x_{rr}=0,y_r=\sen\theta\,\,\mbox{e}\,\,\,y_{rr}=0[/tex3] , substituindo temos
[tex3]F_{rr}=\cos^2\theta f_{xx}+2\sen\theta\cos\theta f_{xy}+\sen^2\theta f_{yy}\quad\quad(2)[/tex3]
Derivando parcialmente em relação a [tex3]\theta[/tex3]
[tex3]F_{\theta}=f_xx_\theta+f_yy_\theta+f_tt_\theta=-r\cos\theta f_x+r\cos\theta f_y[/tex3]
Derivando novamente em relação a [tex3]\theta[/tex3]
[tex3]F_{\theta\theta}=(f_{xx}x_\theta+f_{yx}y_\theta+f_{ty}t_{\theta})x_\theta+f_xx_{\theta\theta}+(f_{xy}x_\theta+f_{yy}y_{\theta}+f_{tx}t_{\theta})y_{\theta}+f_yy_{\theta\theta}[/tex3]
Temos que [tex3]x_\theta=-r\sen\theta,y_\theta=rcos\theta,x_{\theta\theta}=-r\cos\theta,y_{\theta\theta}=-r\sen\theta\,\,\,\mbox{e}\,\,\,t_\theta=0[/tex3] , substituindo
[tex3]F_{\theta\theta}=r^2\sen^2\theta f_{xx}-2r^2\sen\theta\cos\theta f_{xy}+r^2\cos^2f{yy}-r\cos\theta f_x-r\sen\theta f_y[/tex3]
Dividindo por [tex3]r^2[/tex3]
[tex3]\dfrac{1}{r^2}F_{\theta\theta}=\sen^2\theta f_{xx}-2\sen\theta\cos\theta f_{xy}+cos^2f_{yy}-\dfrac{1}{r}\cos\theta f_x-\dfrac{1}{r}\sen\theta f_y\quad\quad(3)[/tex3]
Somando (1), (2) e (3), chegamos
[tex3]F_{rr}+\dfrac{1}{r^2}F_{\theta\theta}+\dfrac{1}{r}F_{r}=(\cos^2\theta f_{xx}+2\sen\theta\cos\theta f_{xy}+\sen^2\theta f_{yy})+(\sen^2\theta f_{xx}-2\sen\theta\cos\theta f_{xy}+cos^2\theta f_{yy}-\dfrac{1}{r}\cos\theta f_x-\dfrac{1}{r}\sen\theta f_y)+(\dfrac{1}{r}\cos\theta f_x+\dfrac{1}{r}\sen\theta f_y)[/tex3]
[tex3]\Rightarrow F_{rr}+\dfrac{1}{r^2}F_{\theta\theta}+\dfrac{1}{r}F_{r}=f_{xx}+f_{yy}[/tex3]
Editado pela última vez por Lliw em 08 Set 2021, 14:27, em um total de 5 vezes.
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