Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto [tex3]W[/tex3]
[tex3]V = M_{2} , W = \left \{ \begin{pmatrix} a & b \\ -a & c \\ \end{pmatrix}\right \}[/tex3]
é um subespaço vetorial do espaço vetorial [tex3]V[/tex3]
. Caso não sejam especificadas, considere as operações usuais.Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero )
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Ensino Superior ⇒ Verificação subespaço vetorial do espaço vetorial V
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Ago 2021
10
17:58
Re: Verificação subespaço vetorial do espaço vetorial V
Temos de checar os três seguintes itens:
1) [tex3]0\in W[/tex3]
2) Dados [tex3]u,v\in W[/tex3] temos [tex3]u+v\in W[/tex3]
3) Dados [tex3]u\in W[/tex3] e [tex3]\mu\in\mathbb R[/tex3] temos [tex3]\mu u\in W[/tex3] .
Para 1) se tivermos [tex3]a=b=c=0[/tex3] teremos que [tex3]\begin{pmatrix} a & b \\ -a & c \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}[/tex3] , logo , [tex3]0\in W[/tex3] .
Sejam [tex3]A,B\in W[/tex3] e [tex3]\mu\in\mathbb R[/tex3] dados.
Considere [tex3]A=\begin{pmatrix} a & b \\ -a & c \\ \end{pmatrix}[/tex3] e [tex3]B=\begin{pmatrix} a_0 & b_0 \\ -a_0 & c_0 \\ \end{pmatrix}[/tex3] .
[tex3]A+B=\begin{pmatrix} a & b \\ -a & c \\ \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} a_0 & b_0 \\ -a_0 & c_0 \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a+a_0 & b+b_0 \\ -a-a_0 & c+c_0 \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a+a_0 & b+b_0 \\ -(a+a_0) & c+c_0 \\ \end{pmatrix}\in W[/tex3] .
Portanto, 2) vale.
[tex3]\mu A=\mu\begin{pmatrix} a & b \\ -a & c \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \mu a & \mu b \\ -\mu a &\mu c \\ \end{pmatrix}\in W[/tex3] .
Portanto, 3) também vale.
Dessa forma, concluímos que [tex3]W[/tex3] é um subespaço vetorial de [tex3]V[/tex3] .
Espero ter ajudado.
1) [tex3]0\in W[/tex3]
2) Dados [tex3]u,v\in W[/tex3] temos [tex3]u+v\in W[/tex3]
3) Dados [tex3]u\in W[/tex3] e [tex3]\mu\in\mathbb R[/tex3] temos [tex3]\mu u\in W[/tex3] .
Para 1) se tivermos [tex3]a=b=c=0[/tex3] teremos que [tex3]\begin{pmatrix} a & b \\ -a & c \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}[/tex3] , logo , [tex3]0\in W[/tex3] .
Sejam [tex3]A,B\in W[/tex3] e [tex3]\mu\in\mathbb R[/tex3] dados.
Considere [tex3]A=\begin{pmatrix} a & b \\ -a & c \\ \end{pmatrix}[/tex3] e [tex3]B=\begin{pmatrix} a_0 & b_0 \\ -a_0 & c_0 \\ \end{pmatrix}[/tex3] .
[tex3]A+B=\begin{pmatrix} a & b \\ -a & c \\ \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} a_0 & b_0 \\ -a_0 & c_0 \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a+a_0 & b+b_0 \\ -a-a_0 & c+c_0 \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a+a_0 & b+b_0 \\ -(a+a_0) & c+c_0 \\ \end{pmatrix}\in W[/tex3] .
Portanto, 2) vale.
[tex3]\mu A=\mu\begin{pmatrix} a & b \\ -a & c \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \mu a & \mu b \\ -\mu a &\mu c \\ \end{pmatrix}\in W[/tex3] .
Portanto, 3) também vale.
Dessa forma, concluímos que [tex3]W[/tex3] é um subespaço vetorial de [tex3]V[/tex3] .
Espero ter ajudado.
Saudações.
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