Ensino Superior ⇒ Altura triangulo

[Deleted User 27305]

01. Dados os pontos A = (0, 1, 2), B = (1, 1, 3), C = (1, 3, 4), determinar:


a) a altura do triângulo ABC relativa a A;

[deOliveira]

Sendo [tex3]h[/tex3]

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[tex3]h[/tex3]

a altura do triângulo ABC relativa a A, temos que a área o triangulo pode ser calculada como [tex3]Area=\frac{\|\vec{BC}\|h}2[/tex3]

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[tex3]Area=\frac{\|\vec{BC}\|h}2[/tex3]

.

[tex3]\vec{BC}=(1-1,3-1,4-3)=(0,2,1)\\
\|\vec{BC}\|=\sqrt{2^1+1^2}=\sqrt5\\\implies Area=\frac{\sqrt5h}2[/tex3]

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[tex3]\vec{BC}=(1-1,3-1,4-3)=(0,2,1)\\
\|\vec{BC}\|=\sqrt{2^1+1^2}=\sqrt5\\\implies Area=\frac{\sqrt5h}2[/tex3]

Por outro lado, temos que, usando a norma do produto vetorial, [tex3]Area=\frac{\|\vec{BC}\wedge\vec{AC}\|}2[/tex3]

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[tex3]Area=\frac{\|\vec{BC}\wedge\vec{AC}\|}2[/tex3]

.

[tex3]\vec {AC}=(1-0,3-2,4-2)=(1,1,2)\\
\vec{BC}\wedge\vec{AC}=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\
0&2&1\\
1&1&2\end{vmatrix}=(3,1,-2)\\
\|\vec{BC}\wedge\vec{AC}\|=\sqrt{3^2+1^2+(-2)^2}=\sqrt{14}\\
\implies Area=\frac{\sqrt{14}}2[/tex3]

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[tex3]\vec {AC}=(1-0,3-2,4-2)=(1,1,2)\\
\vec{BC}\wedge\vec{AC}=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\
0&2&1\\
1&1&2\end{vmatrix}=(3,1,-2)\\
\|\vec{BC}\wedge\vec{AC}\|=\sqrt{3^2+1^2+(-2)^2}=\sqrt{14}\\
\implies Area=\frac{\sqrt{14}}2[/tex3]

Daí, temos:

[tex3]\frac{\sqrt5h}2=\frac{\sqrt{14}}2\\
\therefore h=\frac{\sqrt{14}}{\sqrt5}[/tex3]

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[tex3]\frac{\sqrt5h}2=\frac{\sqrt{14}}2\\
\therefore h=\frac{\sqrt{14}}{\sqrt5}[/tex3]

Espero ter ajudado.