Prove que:
Para todos os inteiros, x é múltiplo de 3 se e somente se [tex3]x^{2}[/tex3]
é múltiplo de 3
Como faço a demonstração?
Ensino Superior ⇒ Álgebra Elementar Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
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Nekololikuro
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Jul 2021
24
17:06
Álgebra Elementar
Última edição: Nekololikuro (24 Jul 2021, 17:13). Total de 2 vezes.
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FelipeMartin
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Jul 2021
24
17:07
Re: Álgebra Elementar
sua pergunta viola as regras do fórum. Não pode postar a questão só com imagem.
φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.
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Nekololikuro
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Jul 2021
24
17:18
Re: Álgebra Elementar
Agora que editei a menssagem alguém pode responder minha dúvida? Ou tenho que postar novamente?FelipeMartin escreveu: ↑24 Jul 2021, 17:07 sua pergunta viola as regras do fórum. Não pode postar a questão só com imagem.
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CarlosBruno
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Jul 2021
24
18:10
Re: Álgebra Elementar
É bem simples na verdade, considere um numero qualquer múltiplo de 3, logo podemos escreve-lo como: [tex3]x = 3k, k\in \mathbb{Z} \therefore x^2 = 9k^2 = 3(3k^2)=3m, m\in \mathbb{Z}[/tex3]
Provando que todo numero multiplo de 3, tera seu quadrado tambem multiplo de 3. Obs: se [tex3]l \in \mathbb{Z} \implies l^2 \in \mathbb{Z}[/tex3] , isso se da devido a questão do "fechamento" do conjunto dos inteiros em relação a multiplicação.
Provando que todo numero multiplo de 3, tera seu quadrado tambem multiplo de 3. Obs: se [tex3]l \in \mathbb{Z} \implies l^2 \in \mathbb{Z}[/tex3] , isso se da devido a questão do "fechamento" do conjunto dos inteiros em relação a multiplicação.
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PeterPark
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Jul 2021
24
20:39
Re: Álgebra Elementar
[tex3]x^2=3a\leftrightarrow x=3b[/tex3]
Primeira parte [tex3]x=3b\rightarrow x^2=3a[/tex3] : Se x é múltiplo, o quadrado também....
Elevando x ao quadrado:
[tex3]x=3b \rightarrow~~~~ x^2=(3b)^2 = 9b^2 = 3(3b^2) = 3a[/tex3]
Segunda parte: [tex3]x^2=3a\rightarrow x=3b[/tex3]
Vamos tentar provar que se [tex3]x^2[/tex3] é múltiplo de 3, então x também é múltiplo de 3.
Perceba que se o primeiro lado da esquerda é verdade, o lado da direita obrigatoriamente é verdade. Se o lado da direita for falso, o da esquerda
obrigatoriamente deverá ser falso, para que a expressão seja válida. Então a linha acima é equivalente a:
Se x NÃO é múltiplo de 3, então [tex3]x^2[/tex3] NÃO é múltiplo de três:
[tex3]x = 3b+1 \rightarrow x^2=3a+1[/tex3]
Vamos provar elevando o a da esquerda ao quadrado...
[tex3]x^2 = (3b+1)^2=9b^2+6b+1 = 3(3b^2+2b)+1 = 3a+1 [/tex3]
Provado que se x não é múltiplo de 3, então [tex3]x^2[/tex3] não pode ser.
Portanto [tex3]x^2[/tex3] só é múltiplo de 3, se x também for.
Conclusão
[tex3]x^2=3a\leftrightarrow x=3b[/tex3]
Primeira parte [tex3]x=3b\rightarrow x^2=3a[/tex3] : Se x é múltiplo, o quadrado também....
Elevando x ao quadrado:
[tex3]x=3b \rightarrow~~~~ x^2=(3b)^2 = 9b^2 = 3(3b^2) = 3a[/tex3]
Segunda parte: [tex3]x^2=3a\rightarrow x=3b[/tex3]
Vamos tentar provar que se [tex3]x^2[/tex3] é múltiplo de 3, então x também é múltiplo de 3.
Perceba que se o primeiro lado da esquerda é verdade, o lado da direita obrigatoriamente é verdade. Se o lado da direita for falso, o da esquerda
obrigatoriamente deverá ser falso, para que a expressão seja válida. Então a linha acima é equivalente a:
Se x NÃO é múltiplo de 3, então [tex3]x^2[/tex3] NÃO é múltiplo de três:
[tex3]x = 3b+1 \rightarrow x^2=3a+1[/tex3]
Vamos provar elevando o a da esquerda ao quadrado...
[tex3]x^2 = (3b+1)^2=9b^2+6b+1 = 3(3b^2+2b)+1 = 3a+1 [/tex3]
Provado que se x não é múltiplo de 3, então [tex3]x^2[/tex3] não pode ser.
Portanto [tex3]x^2[/tex3] só é múltiplo de 3, se x também for.
Conclusão
[tex3]x^2=3a\leftrightarrow x=3b[/tex3]
Última edição: PeterPark (24 Jul 2021, 20:45). Total de 2 vezes.
Either you die as a programmer, or live long enough to become a scammer. 
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CarlosBruno
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Jul 2021
24
21:39
Re: Álgebra Elementar
PeterPark escreveu: ↑24 Jul 2021, 20:39 [tex3]x^2=3a\leftrightarrow x=3b[/tex3]
Primeira parte [tex3]x=3b\rightarrow x^2=3a[/tex3] : Se x é múltiplo, o quadrado também....
Elevando x ao quadrado:
[tex3]x=3b \rightarrow~~~~ x^2=(3b)^2 = 9b^2 = 3(3b^2) = 3a[/tex3]
Segunda parte: [tex3]x^2=3a\rightarrow x=3b[/tex3]
Vamos tentar provar que se [tex3]x^2[/tex3] é múltiplo de 3, então x também é múltiplo de 3.
Perceba que se o primeiro lado da esquerda é verdade, o lado da direita obrigatoriamente é verdade. Se o lado da direita for falso, o da esquerda
obrigatoriamente deverá ser falso, para que a expressão seja válida. Então a linha acima é equivalente a:
Se x NÃO é múltiplo de 3, então [tex3]x^2[/tex3] NÃO é múltiplo de três:
[tex3]x = 3b+1 \rightarrow x^2=3a+1[/tex3]
Vamos provar elevando o a da esquerda ao quadrado...
[tex3]x^2 = (3b+1)^2=9b^2+6b+1 = 3(3b^2+2b)+1 = 3a+1 [/tex3]
Provado que se x não é múltiplo de 3, então [tex3]x^2[/tex3] não pode ser.
Portanto [tex3]x^2[/tex3] só é múltiplo de 3, se x também for.
Conclusão
[tex3]x^2=3a\leftrightarrow x=3b[/tex3]
Eu acabei provando só a ida, obrigado por ter provado a volta.
-
PeterPark
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Jul 2021
24
21:43
Re: Álgebra Elementar
disponha heheCarlosBruno escreveu: ↑24 Jul 2021, 21:39PeterPark escreveu: ↑24 Jul 2021, 20:39 [tex3]x^2=3a\leftrightarrow x=3b[/tex3]
Primeira parte [tex3]x=3b\rightarrow x^2=3a[/tex3] : Se x é múltiplo, o quadrado também....
Elevando x ao quadrado:
[tex3]x=3b \rightarrow~~~~ x^2=(3b)^2 = 9b^2 = 3(3b^2) = 3a[/tex3]
Segunda parte: [tex3]x^2=3a\rightarrow x=3b[/tex3]
Vamos tentar provar que se [tex3]x^2[/tex3] é múltiplo de 3, então x também é múltiplo de 3.
Perceba que se o primeiro lado da esquerda é verdade, o lado da direita obrigatoriamente é verdade. Se o lado da direita for falso, o da esquerda
obrigatoriamente deverá ser falso, para que a expressão seja válida. Então a linha acima é equivalente a:
Se x NÃO é múltiplo de 3, então [tex3]x^2[/tex3] NÃO é múltiplo de três:
[tex3]x = 3b+1 \rightarrow x^2=3a+1[/tex3]
Vamos provar elevando o a da esquerda ao quadrado...
[tex3]x^2 = (3b+1)^2=9b^2+6b+1 = 3(3b^2+2b)+1 = 3a+1 [/tex3]
Provado que se x não é múltiplo de 3, então [tex3]x^2[/tex3] não pode ser.
Portanto [tex3]x^2[/tex3] só é múltiplo de 3, se x também for.
Conclusão
[tex3]x^2=3a\leftrightarrow x=3b[/tex3]
Eu acabei provando só a ida, obrigado por ter provado a volta.
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