Sabe-se que a equação [tex3]x^3-5x^2+mx+n=0[/tex3]
, em que m e n são números reais, possui duas raízes imaginárias e uma raiz real, sendo -2+i uma raiz imaginária. A raiz real dessa equação é
A) -1
B) 6
C) 1
D) 9
E) -6
Gabarito: D)
Fonte: Q51) - QCO/QC - Magistério de Matemática - CA 2020 - Exército Brasileiro.
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Ensino Superior ⇒ Raízes Complexas Tópico resolvido
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deOliveira
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Jul 2021
18
11:50
Re: Raízes Complexas
Sabemos que se um número complexo é raiz de um polinômio seu conjugado também o é. Logo, [tex3]-2-i[/tex3]
também é raiz de [tex3]x^3-5x^2+mx+n=0[/tex3]
.
Então temos que [tex3]x^3-5x^2+mx+n[/tex3] é divisível por [tex3](x-(-2+i))(x-(-2-i))=x^2+4x+5[/tex3]
Fazendo a divisão vamos encontrar o seguinte:
E o último resto será zero porque sabemos que [tex3]x^3-5x^2+mx+n[/tex3]
é divisível por [tex3](x-(-2+i))(x-(-2-i))=x^2+4x+5[/tex3]
e o resto é um [tex3](m+31)x+n+45[/tex3]
que é um polinômio de grau menor que 2, que é o grau do divisor.
Dessa forma, temos que [tex3]x^3-5x^2+mx+n=(x^2+4x+5)(x-9)[/tex3] .
E portanto, a raiz real é [tex3]9[/tex3] .
Espero ter ajudado.
Então temos que [tex3]x^3-5x^2+mx+n[/tex3] é divisível por [tex3](x-(-2+i))(x-(-2-i))=x^2+4x+5[/tex3]
Fazendo a divisão vamos encontrar o seguinte:
- WhatsApp Image 2021-07-18 at 11.44.32.jpeg (16.63 KiB) Exibido 1201 vezes
Dessa forma, temos que [tex3]x^3-5x^2+mx+n=(x^2+4x+5)(x-9)[/tex3] .
E portanto, a raiz real é [tex3]9[/tex3] .
Espero ter ajudado.
Saudações.
Jul 2021
18
13:29
Re: Raízes Complexas
Entendi a divisão do polinômio;
E que [tex3](m+31)x+n+45=0[/tex3] por causa que é resto da divisão do polinômio pela sua(s) raiz(es).
Entendi que essa forma fatorada desse polinômio é [tex3][x-(-2+i)][x-(-2-i)](x-9)[/tex3] , após consegui escrever assim, posso dizer que a raiz real é 9? essa é minha dúvida.
E que [tex3](m+31)x+n+45=0[/tex3] por causa que é resto da divisão do polinômio pela sua(s) raiz(es).
Entendi que essa forma fatorada desse polinômio é [tex3][x-(-2+i)][x-(-2-i)](x-9)[/tex3] , após consegui escrever assim, posso dizer que a raiz real é 9? essa é minha dúvida.
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deOliveira
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Jul 2021
18
13:42
Re: Raízes Complexas
Pode, porque todo polinômio [tex3]p [/tex3]
de grau [tex3]n[/tex3]
pode ser fatorado como [tex3](x-r_1)(x-r_2)\cdots(x-r_n)[/tex3]
em que [tex3]r_1,r_2,...,r_n\in\mathbb C[/tex3]
são as raízes de [tex3]p[/tex3]
. Então, no caso, 9 é raiz e é real.
E também tendo [tex3](x-(-2+i))(x-(-2-i))(x-9)=0[/tex3] temos que [tex3](x-(-2+i))(x-(-2-i))=0[/tex3] ou [tex3](x-9)=0[/tex3] , o que nos dá que 9 é raiz.
E também tendo [tex3](x-(-2+i))(x-(-2-i))(x-9)=0[/tex3] temos que [tex3](x-(-2+i))(x-(-2-i))=0[/tex3] ou [tex3](x-9)=0[/tex3] , o que nos dá que 9 é raiz.
Editado pela última vez por deOliveira em 18 Jul 2021, 13:44, em um total de 1 vez.
Saudações.
Jul 2021
18
13:48
Re: Raízes Complexas
Estava tentando achar o m e n acostumado com exercícios de polinômios 4 raízes, duas reais e duas imaginárias(z e seu conjugado), esse foi meu erro. Entendi, muito obrigado.deOliveira escreveu: ↑18 Jul 2021, 13:42 Pode, porque todo polinômio [tex3]p [/tex3] de grau [tex3]n[/tex3] pode ser fatorado como [tex3](x-r_1)(x-r_2)\cdots(x-r_n)[/tex3] em que [tex3]r_1,r_2,...,r_n\in\mathbb C[/tex3] são as raízes de [tex3]p[/tex3] . Então, no caso, 9 é raiz e é real.
E também tendo [tex3](x-(-2+i))(x-(-2-i))(x-9)=0[/tex3] temos que [tex3](x-(-2+i))(x-(-2-i))=0[/tex3] ou [tex3](x-9)=0[/tex3] , o que nos dá que 9 é raiz.
-
NathanMoreira
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Jul 2021
18
23:05
Re: Raízes Complexas
Outra forma alternativa de resolver:
Pelo Teorema da Raiz Complexa Conjugada, se [tex3]-2+i[/tex3] é raiz do polinômio, [tex3]-2-i[/tex3] também é.
Portanto, como o polinômio é de grau 3, ele possui três raízes: [tex3]-2+i[/tex3] , [tex3]-2-i[/tex3] e [tex3]x_3[/tex3] .
Pela Relação de Girard da Soma das Raízes: [tex3]x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}[/tex3]
[tex3]-2+i-2-i+x_3=5[/tex3]
[tex3]-4+x_3=5[/tex3]
[tex3]\boxed{x_3=9}[/tex3]
Pelo Teorema da Raiz Complexa Conjugada, se [tex3]-2+i[/tex3] é raiz do polinômio, [tex3]-2-i[/tex3] também é.
Portanto, como o polinômio é de grau 3, ele possui três raízes: [tex3]-2+i[/tex3] , [tex3]-2-i[/tex3] e [tex3]x_3[/tex3] .
Pela Relação de Girard da Soma das Raízes: [tex3]x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}[/tex3]
[tex3]-2+i-2-i+x_3=5[/tex3]
[tex3]-4+x_3=5[/tex3]
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Dou aulas particulares de matemática.
Para mais informações, entre em contato comigo:
Whatsapp: (18) 99164-4128
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Jul 2021
19
10:08
Re: Raízes Complexas
Você é fera mesmo, tinha esquecido das Relações de Girard. Agradecido.
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