Seja R² o produto cartesiano de R por ele mesmo. Considerando a soma de vetores usual em R²,
(x, y) + (a, b) = (x + a,y+b),
verifique se (R², +) é um grupo.
Em cada item abaixo, considere a operação binária sobre A e verifique se ela é associativa e se ela é comutativa.
a) A =R e r*y= x+y b) A = Z e r*y=x+ry.
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero )
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
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Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
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Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Ensino Superior ⇒ Estruturas álgebricas Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Jul 2021
17
06:37
Estruturas álgebricas
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Jul 2021
17
09:53
Re: Estruturas álgebricas
Primeiro vamos mostrar que [tex3]R^2[/tex3]
Devemos mostrar que a operação é associativa, que existe elemento neutro e elemento inverso.
Sejam [tex3](a,b),(p,q),(x,y)\in\mathbb R^2[/tex3]
[tex3]((a,b)+(p,q))+(x,y)=\\
(a+p,b+q)+(x,y)=\\
((a+p)+x,(b+q)+y)=\\
(a+(p+x),b+(q+y))=\\(a+b)+(p+x,q+y)=\\(a+b)+((p,q)+(x,y))[/tex3]
Portanto, a operação é associativa.
Considere [tex3](0,0)\in\mathbb R^2[/tex3] .
[tex3](x,y)+(0,0)=\\(x+0,y+0)=\\(x+y)[/tex3]
[tex3](0,0)+(x,y)=\\(0+x,0+y)=\\(x,y)[/tex3]
Portanto, [tex3](x,y)+(0,0)=(0,0)+(x,y)=(x,y)[/tex3] , o que implica que [tex3](0,0)[/tex3] é elemento neutro da operação.
Dado [tex3](x,y)[/tex3] , temos que [tex3](-x,-y)\in\mathbb R^2[/tex3] .
[tex3](x,y)+(-x,-y)=\\(x+(-x),y+(-y))=\\
(x-x,y-y)=\\(0,0)[/tex3]
[tex3](-x,-y)+(x,y)=\\(-x+x,-y+y)=\\(0,0)[/tex3]
Portanto, [tex3](x,y)+(-x,-y)=(-x,-y)+(x,y)=(0,0)[/tex3] , o que implica que existe elemento inverso.
Portanto, [tex3]\mathbb R^2[/tex3] com a operação usual de soma de vetores é um grupo.
[tex3]*[/tex3] operação sobre [tex3]A[/tex3] . Devemos verificar se cada uma das operações abaixo é comutativa e associativa.
a) [tex3]A=\mathbb R[/tex3] e [tex3]x*y=\frac{x+y}2[/tex3] .
Considere o seguinte:
[tex3](1*1)*2=\\\frac{1+1}2*2=\\1*2=\\\frac{1+2}2=\\\frac32[/tex3]
Por outro lado:
[tex3]1*(1*2)=\\1*\frac{1+2}2=\\1*\frac32=\\\frac{1+\frac32}2=\\\frac{\frac52}2=\\\frac54[/tex3]
Dessa forma, temos que [tex3](1*1)*2\ne1*(1*2)[/tex3] , já que [tex3]\frac 32\ne\frac54[/tex3] . E portanto, [tex3]*[/tex3] não é associativa.
Seja, [tex3]x,y\in\mathbb R[/tex3] .
[tex3]x*y=\frac{x+y}2=\frac{y+x}2=y*x[/tex3]
Portanto, [tex3]*[/tex3] é comutativa.
b) [tex3]A=\mathbb Z[/tex3] e [tex3]x*y=x+xy[/tex3]
Considere o seguinte:
[tex3](1*0)*1=\\(1+1\cdot0)*1=\\1*1=\\1+1\cdot 1=\\2[/tex3]
Por outro lado:
[tex3]1*(0*1)=\\1*(0+0\cdot1)=\\1*0=\\1+1\cdot 0=\\
1[/tex3]
Como [tex3]1\ne2[/tex3] , temos que [tex3](1*0)*1\ne1*(0*1)[/tex3] , e portanto [tex3]*[/tex3] não é associativa.
Agora considere:
[tex3]1*0=1+1\cdot0=1[/tex3]
E também:
[tex3]0*1=0+0\cdot 1=0[/tex3]
Como [tex3]1\ne0[/tex3] , temos que [tex3]1*0\ne0*1[/tex3] , e portanto a operação [tex3]*[/tex3] não é comutativa.
Espero ter ajudado.
com a operação usual de soma de vetores é um grupo.Devemos mostrar que a operação é associativa, que existe elemento neutro e elemento inverso.
Sejam [tex3](a,b),(p,q),(x,y)\in\mathbb R^2[/tex3]
[tex3]((a,b)+(p,q))+(x,y)=\\
(a+p,b+q)+(x,y)=\\
((a+p)+x,(b+q)+y)=\\
(a+(p+x),b+(q+y))=\\(a+b)+(p+x,q+y)=\\(a+b)+((p,q)+(x,y))[/tex3]
Portanto, a operação é associativa.
Considere [tex3](0,0)\in\mathbb R^2[/tex3] .
[tex3](x,y)+(0,0)=\\(x+0,y+0)=\\(x+y)[/tex3]
[tex3](0,0)+(x,y)=\\(0+x,0+y)=\\(x,y)[/tex3]
Portanto, [tex3](x,y)+(0,0)=(0,0)+(x,y)=(x,y)[/tex3] , o que implica que [tex3](0,0)[/tex3] é elemento neutro da operação.
Dado [tex3](x,y)[/tex3] , temos que [tex3](-x,-y)\in\mathbb R^2[/tex3] .
[tex3](x,y)+(-x,-y)=\\(x+(-x),y+(-y))=\\
(x-x,y-y)=\\(0,0)[/tex3]
[tex3](-x,-y)+(x,y)=\\(-x+x,-y+y)=\\(0,0)[/tex3]
Portanto, [tex3](x,y)+(-x,-y)=(-x,-y)+(x,y)=(0,0)[/tex3] , o que implica que existe elemento inverso.
Portanto, [tex3]\mathbb R^2[/tex3] com a operação usual de soma de vetores é um grupo.
[tex3]*[/tex3] operação sobre [tex3]A[/tex3] . Devemos verificar se cada uma das operações abaixo é comutativa e associativa.
a) [tex3]A=\mathbb R[/tex3] e [tex3]x*y=\frac{x+y}2[/tex3] .
Considere o seguinte:
[tex3](1*1)*2=\\\frac{1+1}2*2=\\1*2=\\\frac{1+2}2=\\\frac32[/tex3]
Por outro lado:
[tex3]1*(1*2)=\\1*\frac{1+2}2=\\1*\frac32=\\\frac{1+\frac32}2=\\\frac{\frac52}2=\\\frac54[/tex3]
Dessa forma, temos que [tex3](1*1)*2\ne1*(1*2)[/tex3] , já que [tex3]\frac 32\ne\frac54[/tex3] . E portanto, [tex3]*[/tex3] não é associativa.
Seja, [tex3]x,y\in\mathbb R[/tex3] .
[tex3]x*y=\frac{x+y}2=\frac{y+x}2=y*x[/tex3]
Portanto, [tex3]*[/tex3] é comutativa.
b) [tex3]A=\mathbb Z[/tex3] e [tex3]x*y=x+xy[/tex3]
Considere o seguinte:
[tex3](1*0)*1=\\(1+1\cdot0)*1=\\1*1=\\1+1\cdot 1=\\2[/tex3]
Por outro lado:
[tex3]1*(0*1)=\\1*(0+0\cdot1)=\\1*0=\\1+1\cdot 0=\\
1[/tex3]
Como [tex3]1\ne2[/tex3] , temos que [tex3](1*0)*1\ne1*(0*1)[/tex3] , e portanto [tex3]*[/tex3] não é associativa.
Agora considere:
[tex3]1*0=1+1\cdot0=1[/tex3]
E também:
[tex3]0*1=0+0\cdot 1=0[/tex3]
Como [tex3]1\ne0[/tex3] , temos que [tex3]1*0\ne0*1[/tex3] , e portanto a operação [tex3]*[/tex3] não é comutativa.
Espero ter ajudado.
Saudações.
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