Ensino Superior ⇒ Algebra linear - transformação linear Tópico resolvido
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thetruth
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Jul 2021
10
12:15
Algebra linear - transformação linear
Encontre uma transformação linear T : R3 → R3 cujo núcleo é gerado por [(1, 1, −1)].
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deOliveira
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Jul 2021
10
13:15
Re: Algebra linear - transformação linear
Considere [tex3]\mathcal{B}=\{(1,1,-1),(1,0,0),(0,1,0)\}[/tex3]
. Temos que
[tex3]\det\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\1&1&-1\end{pmatrix}=-1\ne0[/tex3]
Então [tex3]\mathcal B[/tex3] é uma base de [tex3]\mathbb R^3[/tex3] .
Pelo Teorema do Núcleo e Imagem temos que [tex3]\dim R^3=\dim Nuc T+\dim ImT[/tex3] , então como [tex3]Nuc T=[(1,1,-1)][/tex3] teremos que [tex3]\dim ImT =2[/tex3] .
Além disso sabemos que as colunas da matriz [tex3]T[/tex3] geram o conjunto imagem. Dessa forma vamos definir a transformação linear a partir de [tex3]\mathcal B[/tex3] da seguinte forma:
[tex3](1,1,-1)\mapsto (0,0,0)\\(1,0,0)\mapsto u\\(0,1,0)\mapsto v[/tex3]
com [tex3]\{u,v\}[/tex3] LI.
Podemos escolher [tex3]u=(1,0,0)[/tex3] e [tex3]v=(0,1,0)[/tex3] .
Como [tex3](0,0,1)=-(1,1,-1)+(1,0,0)+(0,1,0)[/tex3] teremos que [tex3]T(0,0,1)=-T(1,1,-1)+T(1,0,0)+T(0,1,0)=(0,0,0)+(1,0,0)+(0,1,0)=(1,1,0)[/tex3] .
Portanto, temos que
[tex3]T(x,y,z)=xT(1,0,0)+yT(0,1,0)+zT(0,0,1)=\\x(1,1,0)+y(1,0,0)+z(0,1,0)=(x+y,x+z,0)[/tex3]
Dessa forma, teremos que [tex3]Im T=[u,v]\implies \dim Im T=2[/tex3] . Pelo Teorema do Núcleo e Imagem, [tex3]\dim Nuc T=1[/tex3] .
Como [tex3][(1,1,-1)]\subset Nuc T[/tex3] e [tex3]\dim [(1,1,-1)]=1[/tex3] vamos ter que [tex3][(1,1,-1)]= Nuc T[/tex3] .
Espero ter ajudado.
[tex3]\det\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\1&1&-1\end{pmatrix}=-1\ne0[/tex3]
Então [tex3]\mathcal B[/tex3] é uma base de [tex3]\mathbb R^3[/tex3] .
Pelo Teorema do Núcleo e Imagem temos que [tex3]\dim R^3=\dim Nuc T+\dim ImT[/tex3] , então como [tex3]Nuc T=[(1,1,-1)][/tex3] teremos que [tex3]\dim ImT =2[/tex3] .
Além disso sabemos que as colunas da matriz [tex3]T[/tex3] geram o conjunto imagem. Dessa forma vamos definir a transformação linear a partir de [tex3]\mathcal B[/tex3] da seguinte forma:
[tex3](1,1,-1)\mapsto (0,0,0)\\(1,0,0)\mapsto u\\(0,1,0)\mapsto v[/tex3]
com [tex3]\{u,v\}[/tex3] LI.
Podemos escolher [tex3]u=(1,0,0)[/tex3] e [tex3]v=(0,1,0)[/tex3] .
Como [tex3](0,0,1)=-(1,1,-1)+(1,0,0)+(0,1,0)[/tex3] teremos que [tex3]T(0,0,1)=-T(1,1,-1)+T(1,0,0)+T(0,1,0)=(0,0,0)+(1,0,0)+(0,1,0)=(1,1,0)[/tex3] .
Portanto, temos que
[tex3]T(x,y,z)=xT(1,0,0)+yT(0,1,0)+zT(0,0,1)=\\x(1,1,0)+y(1,0,0)+z(0,1,0)=(x+y,x+z,0)[/tex3]
Dessa forma, teremos que [tex3]Im T=[u,v]\implies \dim Im T=2[/tex3] . Pelo Teorema do Núcleo e Imagem, [tex3]\dim Nuc T=1[/tex3] .
Como [tex3][(1,1,-1)]\subset Nuc T[/tex3] e [tex3]\dim [(1,1,-1)]=1[/tex3] vamos ter que [tex3][(1,1,-1)]= Nuc T[/tex3] .
Espero ter ajudado.
Última edição: deOliveira (10 Jul 2021, 13:58). Total de 1 vez.
Saudações.
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thetruth
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deOliveira
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Jul 2021
10
13:58
Re: Algebra linear - transformação linear
Se resolver o sistema [tex3](0,0,1)=a(1,1,-1)+b(1,0,0)+c(0,1,0)[/tex3]
vai encontrar [tex3]a=-1[/tex3]
e [tex3]b=c=1[/tex3]
. Mas eu já resolvi de cabeça então já dei a resposta direto.
Última edição: deOliveira (10 Jul 2021, 13:59). Total de 1 vez.
Saudações.
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thetruth
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Jul 2021
10
13:59
Re: Algebra linear - transformação linear
ah certodeOliveira escreveu: ↑10 Jul 2021, 13:58 Se resolver o sistema [tex3](0,0,1)=a(1,1,-1)+b(1,0,0)+c(0,0,1)[/tex3] vai encontrar [tex3]a=-1[/tex3] e [tex3]b=c=1[/tex3] . Mas eu já resolvi de cabeça então já dei a resposta direto.
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thetruth
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Jul 2021
10
18:14
Re: Algebra linear - transformação linear
uma dúvida, essa transformação linear é injetora?deOliveira escreveu: ↑10 Jul 2021, 13:58 Se resolver o sistema [tex3](0,0,1)=a(1,1,-1)+b(1,0,0)+c(0,1,0)[/tex3] vai encontrar [tex3]a=-1[/tex3] e [tex3]b=c=1[/tex3] . Mas eu já resolvi de cabeça então já dei a resposta direto.
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deOliveira
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Jul 2021
10
19:54
Re: Algebra linear - transformação linear
Não.
Teorema: Uma transformação linear [tex3]T:U\rightarrow V[/tex3] é injetora se, e somente se, [tex3]Nuc T=\{0\}[/tex3] .
Demonstração: [tex3](\Rightarrow) T[/tex3] é injetora, então, como toda transformação linear leva o vetor nulo no nulo teremos que [tex3]Nuc T=\{0\}[/tex3] .
[tex3](\Leftarrow)[/tex3] Sejam [tex3]u,v\in U[/tex3] distintos. Suponha que [tex3]T(u)=T(v)\implies T(u)-T(v)=T(u-v)=0[/tex3] , daí [tex3]u-v\in Nuc T[/tex3] e como [tex3]u[/tex3] e [tex3]v[/tex3] são distintos temos que [tex3]u-v\ne0[/tex3] , que é um absurdo.
Espero ter ajudado.
Teorema: Uma transformação linear [tex3]T:U\rightarrow V[/tex3] é injetora se, e somente se, [tex3]Nuc T=\{0\}[/tex3] .
Demonstração: [tex3](\Rightarrow) T[/tex3] é injetora, então, como toda transformação linear leva o vetor nulo no nulo teremos que [tex3]Nuc T=\{0\}[/tex3] .
[tex3](\Leftarrow)[/tex3] Sejam [tex3]u,v\in U[/tex3] distintos. Suponha que [tex3]T(u)=T(v)\implies T(u)-T(v)=T(u-v)=0[/tex3] , daí [tex3]u-v\in Nuc T[/tex3] e como [tex3]u[/tex3] e [tex3]v[/tex3] são distintos temos que [tex3]u-v\ne0[/tex3] , que é um absurdo.
Espero ter ajudado.
Saudações.
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