Prove que [tex3]\mathbb{R}\times\mathbb{R}[/tex3]
é um espaço vetorial sobre os números reais onde a soma e o produto são definidas por:
[tex3](x,y)+(u,v)=(x+u-1,y+v-3)[/tex3]
[tex3]\alpha\cdot(x,y)=(\alpha a-\alpha+1,\alpha y-3\alpha+3)[/tex3]
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
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Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Ensino Superior ⇒ Espaço vetorial Tópico resolvido
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deOliveira
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Jul 2021
02
14:40
Re: Espaço vetorial
[tex3](x,y)+(u,v)=(x+u-1,y+v-3)[/tex3]
[tex3]\alpha\cdot(x,y)=(\alpha x-\alpha+1,\alpha y-3\alpha+3)[/tex3]
Para mostrar que [tex3]\mathbb R^2[/tex3] é um espaço vetorial com essas operações devemos mostrar que [tex3]\forall u,v,w\in\mathbb R^2[/tex3] e [tex3]\forall \alpha,\beta\in\mathbb R[/tex3] vale que:
(A1) [tex3](u+v)+w=u+(v+w)[/tex3]
(A2) [tex3]u+v=v+u[/tex3]
(A3) [tex3]\exists \bar0\in\mathbb R^2[/tex3] tal que [tex3]\bar0+u=u[/tex3]
(A4) [tex3]\exists -u\in\mathbb R^2[/tex3] tal que [tex3]u+(-u)=\bar0[/tex3]
(M1) [tex3]\alpha(u+v)=\alpha u+\alpha v[/tex3]
(M2) [tex3](\alpha+\beta)u=\alpha u+\beta u[/tex3]
(M3) [tex3]1u=u[/tex3]
(M4) [tex3](\alpha\beta)u=\alpha(\beta u)[/tex3]
Então vamos mostrar essas propriedades:
Sejam [tex3]u=(a,b)[/tex3] , [tex3]v=(p,q)[/tex3] e [tex3]w=(x,y)[/tex3]
(A1) [tex3](u+v)+w=\\((a,b)+(p,q))+(x+y)=\\(a+p-1,b+q-3)+(x+y)=\\
((a+p-1)+x-1,(b+q-3)+y-3)=\\
(a+(p+x-1)-1,b+(q+y-3)-3)=\\
(a,b)+(p+x-1,q+y-3)=\\
(a,b)+((p,q)+(x,y))=\\
u+(v+w)[/tex3]
(A2) [tex3]u+v=\\(a,b)+(p,q)=\\(a+p-1,b+q-3)=\\
(p+a-1,q+b-3)=\\(p,q)+(a,b)=\\v+u[/tex3]
(A3) Considere [tex3]\bar 0=(1,3)[/tex3]
[tex3]\bar0+u=\\(1,3)+(a,b)=\\(1+a-1,3+b-3)=\\(a,b)=\\u[/tex3]
(A4) Considere [tex3]-u=(-a+2,-b+6)[/tex3]
[tex3]u+(-u)=\\(a+b)+(-a+2,-b+6)=\\(a-a+2-1,b-b+6-3)=\\(1,3)=\\\bar0[/tex3]
(M1) [tex3]\alpha(u+v)=\\
\alpha(a+p-1,b+q-3)=\\
(\alpha(a+p-1)-\alpha+1,\alpha(b+q-3)-3\alpha+3)=\\(\alpha a+\alpha p-2\alpha+1,\alpha b+\alpha q-6\alpha+3)[/tex3]
[tex3]\alpha u+\alpha v=\\\alpha(a,b)+\alpha(p,q)=\\
(\alpha a-\alpha+1,\alpha b-3\alpha +3)+(\alpha p-\alpha+1,\alpha q-3\alpha+3)=\\
(\alpha a-\alpha+1+\alpha p-\alpha+1-1, \alpha b-3\alpha+3+\alpha q-3\alpha +3-3)=\\(\alpha a+\alpha p-2\alpha+1,\alpha b+\alpha q-6\alpha+3)
[/tex3]
Portanto, [tex3]\alpha(u+v)=\alpha u+\alpha v[/tex3]
(M2) [tex3](\alpha+\beta)u=\\(\alpha+\beta)(a,b)=\\
((\alpha+\beta)a-(\alpha+\beta)+1,(\alpha+\beta)b-3(\alpha+\beta)+3)=\\
(((\alpha a-\alpha)+1)+((\beta a-\beta)+1)-1,((\alpha b-3\alpha)+3)+((\beta b-3\beta)+3)-3)=\\(\alpha a-\alpha+1,\alpha b-3\alpha+3)+(\beta a-\beta-1,\beta b-3\beta+3)=\\\alpha(a,b)+\beta(a,b)=\\
\alpha u+\beta u[/tex3]
(M3) [tex3]1u=\\1(a,b)=\\
(1a-a+1,1b-3+3)=\\(a,b)=\\u[/tex3]
(M4) [tex3](\alpha\beta)u=\\
(\alpha\beta)(a,b)=\\
((\alpha\beta)a-(\alpha\beta)+1,(\alpha\beta)b-3(\alpha\beta)+3)=\\
(\alpha(\beta a)-\alpha\beta+\alpha-\alpha+1,\alpha(\beta b)-3\alpha\beta+3\alpha\beta-3\alpha\beta+3)=\\
(\alpha(\beta a-\beta+1)-\alpha+1,\alpha(\beta b-3\beta+3)+3)=\\
\alpha(\beta a-\beta+1,\beta b-3\beta+3)=\\\alpha(\beta (a,b))=\\
\alpha(\beta u)[/tex3]
Espero ter ajudado.
[tex3]\alpha\cdot(x,y)=(\alpha x-\alpha+1,\alpha y-3\alpha+3)[/tex3]
Para mostrar que [tex3]\mathbb R^2[/tex3] é um espaço vetorial com essas operações devemos mostrar que [tex3]\forall u,v,w\in\mathbb R^2[/tex3] e [tex3]\forall \alpha,\beta\in\mathbb R[/tex3] vale que:
(A1) [tex3](u+v)+w=u+(v+w)[/tex3]
(A2) [tex3]u+v=v+u[/tex3]
(A3) [tex3]\exists \bar0\in\mathbb R^2[/tex3] tal que [tex3]\bar0+u=u[/tex3]
(A4) [tex3]\exists -u\in\mathbb R^2[/tex3] tal que [tex3]u+(-u)=\bar0[/tex3]
(M1) [tex3]\alpha(u+v)=\alpha u+\alpha v[/tex3]
(M2) [tex3](\alpha+\beta)u=\alpha u+\beta u[/tex3]
(M3) [tex3]1u=u[/tex3]
(M4) [tex3](\alpha\beta)u=\alpha(\beta u)[/tex3]
Então vamos mostrar essas propriedades:
Sejam [tex3]u=(a,b)[/tex3] , [tex3]v=(p,q)[/tex3] e [tex3]w=(x,y)[/tex3]
(A1) [tex3](u+v)+w=\\((a,b)+(p,q))+(x+y)=\\(a+p-1,b+q-3)+(x+y)=\\
((a+p-1)+x-1,(b+q-3)+y-3)=\\
(a+(p+x-1)-1,b+(q+y-3)-3)=\\
(a,b)+(p+x-1,q+y-3)=\\
(a,b)+((p,q)+(x,y))=\\
u+(v+w)[/tex3]
(A2) [tex3]u+v=\\(a,b)+(p,q)=\\(a+p-1,b+q-3)=\\
(p+a-1,q+b-3)=\\(p,q)+(a,b)=\\v+u[/tex3]
(A3) Considere [tex3]\bar 0=(1,3)[/tex3]
[tex3]\bar0+u=\\(1,3)+(a,b)=\\(1+a-1,3+b-3)=\\(a,b)=\\u[/tex3]
(A4) Considere [tex3]-u=(-a+2,-b+6)[/tex3]
[tex3]u+(-u)=\\(a+b)+(-a+2,-b+6)=\\(a-a+2-1,b-b+6-3)=\\(1,3)=\\\bar0[/tex3]
(M1) [tex3]\alpha(u+v)=\\
\alpha(a+p-1,b+q-3)=\\
(\alpha(a+p-1)-\alpha+1,\alpha(b+q-3)-3\alpha+3)=\\(\alpha a+\alpha p-2\alpha+1,\alpha b+\alpha q-6\alpha+3)[/tex3]
[tex3]\alpha u+\alpha v=\\\alpha(a,b)+\alpha(p,q)=\\
(\alpha a-\alpha+1,\alpha b-3\alpha +3)+(\alpha p-\alpha+1,\alpha q-3\alpha+3)=\\
(\alpha a-\alpha+1+\alpha p-\alpha+1-1, \alpha b-3\alpha+3+\alpha q-3\alpha +3-3)=\\(\alpha a+\alpha p-2\alpha+1,\alpha b+\alpha q-6\alpha+3)
[/tex3]
Portanto, [tex3]\alpha(u+v)=\alpha u+\alpha v[/tex3]
(M2) [tex3](\alpha+\beta)u=\\(\alpha+\beta)(a,b)=\\
((\alpha+\beta)a-(\alpha+\beta)+1,(\alpha+\beta)b-3(\alpha+\beta)+3)=\\
(((\alpha a-\alpha)+1)+((\beta a-\beta)+1)-1,((\alpha b-3\alpha)+3)+((\beta b-3\beta)+3)-3)=\\(\alpha a-\alpha+1,\alpha b-3\alpha+3)+(\beta a-\beta-1,\beta b-3\beta+3)=\\\alpha(a,b)+\beta(a,b)=\\
\alpha u+\beta u[/tex3]
(M3) [tex3]1u=\\1(a,b)=\\
(1a-a+1,1b-3+3)=\\(a,b)=\\u[/tex3]
(M4) [tex3](\alpha\beta)u=\\
(\alpha\beta)(a,b)=\\
((\alpha\beta)a-(\alpha\beta)+1,(\alpha\beta)b-3(\alpha\beta)+3)=\\
(\alpha(\beta a)-\alpha\beta+\alpha-\alpha+1,\alpha(\beta b)-3\alpha\beta+3\alpha\beta-3\alpha\beta+3)=\\
(\alpha(\beta a-\beta+1)-\alpha+1,\alpha(\beta b-3\beta+3)+3)=\\
\alpha(\beta a-\beta+1,\beta b-3\beta+3)=\\\alpha(\beta (a,b))=\\
\alpha(\beta u)[/tex3]
Espero ter ajudado.
Saudações.
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