Ensino Superior ⇒ Volume Tópico resolvido

[Lliw]

Encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região [tex3]x^2+4y^2=4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^2+4y^2=4[/tex3]

em torno de [tex3]y=2[/tex3]

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[tex3]y=2[/tex3]

[Cardoso1979]

Observe

1° Modo:

x² + 4y² = 4 [tex3]\therefore [/tex3]

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[tex3]\therefore [/tex3]

y = ± [tex3]\frac{1}{2}\sqrt{4 - x^2}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{2}\sqrt{4 - x^2}[/tex3]

Logo, o volume será dado por

[tex3]V = π.\int\limits_{-2}^{2}\{[2 - (- \frac{1}{2}\sqrt{4 - x^2} ) ]^2 - ( 2 - \frac{1}{2}\sqrt{4 - x^2} )^2 \} \ dx[/tex3]

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[tex3]V = π.\int\limits_{-2}^{2}\{[2 - (- \frac{1}{2}\sqrt{4 - x^2} ) ]^2 - ( 2 - \frac{1}{2}\sqrt{4 - x^2} )^2 \} \ dx[/tex3]

( Por quê ??? )

Ao desenvolver toda expressão acima, você irá obter:

[tex3]V = 8π.\int\limits_{0}^{2}\sqrt{4 - x^2} \ dx = 8π^2 u.v.[/tex3]

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[tex3]V = 8π.\int\limits_{0}^{2}\sqrt{4 - x^2} \ dx = 8π^2 u.v.[/tex3]

Ou

V = 78,95684 ≈ 78,957 u.v.

Obs.1 Para você determinar a integral acima, você terá que fazer uma substituição trigonométrica ( Por quê?? ) e obviamente você terá que mudar os valores dos limites de integração!( Por quê?? )



2° Modo:

Vamos utilizar o Teorema de Pappus para o volume, temos a seguinte fórmula:

V = 2π.[tex3]\overline{r}[/tex3]

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[tex3]\overline{r}[/tex3]

.A.

Onde ,

[tex3]\overline{r}[/tex3]

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[tex3]\overline{r}[/tex3]

: é a distância do centroide da figura até o eixo em torno do qual a figura gira.

A : é a área da região que vai gerar o sólido, neste caso temos uma elipse de [tex3]R_{a}[/tex3]

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[tex3]R_{a}[/tex3]

= 2 e [tex3]R_{b}[/tex3]

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[tex3]R_{b}[/tex3]

= 1 e a distância do centroide para o eixo é [tex3]\overline{r}[/tex3]

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[tex3]\overline{r}[/tex3]

= 2. Então,

A = [tex3]R_{a}.R_{b}[/tex3]

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[tex3]R_{a}.R_{b}[/tex3]

.π

A = 2π u.a.

Assim,

V = 2π.2.2π

V = 8π² u.v.

Infinitamente mais simples!!!!!

Obs 2 Você irá compreender tudo isso ( das conclusões as quais eu cheguei ) , sem exceção , se você desenhar a situação exposta pelo autor da pergunta, obviamente que eu me refiro ao esboço da região!

Agora é com você!!! Você está com a faca o queijo e o doce na .


Boa sorte e excelente estudo!