como saber se esse conjunto é subespaço de P3 [tex3]\mathbb({R})[/tex3]
não faço ideia de como resolver isso.
??Ensino Superior ⇒ subespaço com polinomios Tópico resolvido
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Mai 2021
18
12:24
Re: subespaço com polinomios
Observe
Uma verificação:
Devemos verificar as duas condições no teorema.
TEOREMA:
Se W for um conjunto de um ou mais vetores num espaço vetorial V, então W é um subespaço de V se, e só se, as condições seguintes forem válidas.
(a) Se u e v forem vetores em W, então u + v está em W.
(b) Se a for um escalar qualquer e u algum vetor de W, então au está em W.
Verificação da primeira condição, vamos tomar dois polinômios quaisquer do conjunto dado, temos:
[tex3]P_{1}( x ) = a_{1}x^3 + b_{1}x^2 + c_{1}x + d_{1} \ \ ; \ \ a_{1} + b_{1} + c_{1} + d_{1} = 0 [/tex3]
e
[tex3]P_{2}( x ) = a_{2}x^3 + b_{2}x^2 + c_{2}x + d_{2} \ \ ; \ \ a_{2} + b_{2} + c_{2} + d_{2} = 0 [/tex3] .
[tex3]P_{1}( x ) + P_{2}( x ) : [/tex3]
[tex3]P_{1}( x ) + P_{2}( x ) = ( a_{1}x^3 + b_{1}x^2 + c_{1}x + d_{1} ) + ( a_{2}x^3 + b_{2}x^2 + c_{2}x + d_{2} )[/tex3]
Agrupando os termos semelhantes, fica;
[tex3]P_{1}( x ) + P_{2}( x ) = ( a_{1} + a_{2} ).x^3 + ( b_{1} + b_{2} ).x^2 + ( c_{1} + c_{2} ).x + ( d_{1} + d_{2} )[/tex3] .
Devemos então, conferir se a soma dos coeficientes é igual a zero ( Por quê? ). Vem;
[tex3]( a_{1} + a_{2} ) + ( b_{1} + b_{2} ) + ( c_{1} + c_{2} ) + ( d_{1} + d_{2} ) = [/tex3] .
[tex3]( a_{1} + b_{1} + c_{1} + d_{1} ) + ( a_{2}+ b_{2} + c_{2} + d_{2} )[/tex3] .
E claramente, essas duas somas são iguais a zero , ou seja;
[tex3]( a_{1} + b_{1} + c_{1} + d_{1} ) + ( a_{2}+ b_{2} + c_{2} + d_{2} ) = 0 + 0 = 0.[/tex3]
Perceba que continuamos com um polinômio na forma dada pelo enunciado , logo , a primeira condição é válida!
Vamos verificar agora a segunda condição, pegando um vetor qualquer do conjunto em questão
[tex3]P_{1}( x ) = a_{1}x^3 + b_{1}x^2 + c_{1}x + d_{1} \ \ ; \ \ a_{1} + b_{1} + c_{1} + d_{1} = 0 [/tex3] e um escalar também qualquer : [tex3]\lambda [/tex3] .
Então,
[tex3]\lambda .P_{1}( x ) = \lambda .( a_{1}x^3 + b_{1}x^2 + c_{1}x + d_{1} ) = \lambda .a_{1}x^3 + \lambda .b_{1}x^2 + \lambda .c_{1}x + \lambda .d_{1} [/tex3] .
Procedendo da mesma maneira como feito acima, devemos conferir se a soma dos coeficientes é igual a zero( Por quê? ) Ou seja;
[tex3]\lambda .a_{1} + \lambda .b_{1} + \lambda .c_{1} + \lambda .d_{1} = \lambda .( a_{1} + b_{1} + c_{1} + d_{1} ) [/tex3] .
E claramente já sabemos que essa soma é igual a zero ( 0 ) , logo :
[tex3]\lambda ( 0 ) [/tex3] = 0.
Dessa forma o polinômio continua da maneira que queríamos, ou seja , a segunda condição também é válida. Concluímos então que esses polinômios são um subespaço vetorial de P [tex3]_{3}(\mathbb{R})[/tex3] .
Portanto, o conjunto { ax³ + bx² + cx + d ; a + b + c + d = 0 } é um subespaço vetorial de P [tex3]_{3}(\mathbb{R})[/tex3] . C.q.v.
Nota
Os axiomas que são herdados por W são :
Axioma 1 – Fechamento na adição
Axioma 4 – Existência de vetor zero em W
Axioma 5 – Existência de negativo em W para cada vetor em W
Axioma 6 – Fechamento na multiplicação por escalar
de modo que esses devem ser verificados para provar que W é um subespaço de V. Contudo, segue do teorema acima( postado no início da resolução deste problema ) que se os Axiomas 1 e 6 valerem em W, então os Axiomas 4 e 5 valem em W como uma consequência e, portanto, não precisam ser verificados.
Excelente estudo!
Uma verificação:
Devemos verificar as duas condições no teorema.
TEOREMA:
Se W for um conjunto de um ou mais vetores num espaço vetorial V, então W é um subespaço de V se, e só se, as condições seguintes forem válidas.
(a) Se u e v forem vetores em W, então u + v está em W.
(b) Se a for um escalar qualquer e u algum vetor de W, então au está em W.
Verificação da primeira condição, vamos tomar dois polinômios quaisquer do conjunto dado, temos:
[tex3]P_{1}( x ) = a_{1}x^3 + b_{1}x^2 + c_{1}x + d_{1} \ \ ; \ \ a_{1} + b_{1} + c_{1} + d_{1} = 0 [/tex3]
e
[tex3]P_{2}( x ) = a_{2}x^3 + b_{2}x^2 + c_{2}x + d_{2} \ \ ; \ \ a_{2} + b_{2} + c_{2} + d_{2} = 0 [/tex3] .
[tex3]P_{1}( x ) + P_{2}( x ) : [/tex3]
[tex3]P_{1}( x ) + P_{2}( x ) = ( a_{1}x^3 + b_{1}x^2 + c_{1}x + d_{1} ) + ( a_{2}x^3 + b_{2}x^2 + c_{2}x + d_{2} )[/tex3]
Agrupando os termos semelhantes, fica;
[tex3]P_{1}( x ) + P_{2}( x ) = ( a_{1} + a_{2} ).x^3 + ( b_{1} + b_{2} ).x^2 + ( c_{1} + c_{2} ).x + ( d_{1} + d_{2} )[/tex3] .
Devemos então, conferir se a soma dos coeficientes é igual a zero ( Por quê? ). Vem;
[tex3]( a_{1} + a_{2} ) + ( b_{1} + b_{2} ) + ( c_{1} + c_{2} ) + ( d_{1} + d_{2} ) = [/tex3] .
[tex3]( a_{1} + b_{1} + c_{1} + d_{1} ) + ( a_{2}+ b_{2} + c_{2} + d_{2} )[/tex3] .
E claramente, essas duas somas são iguais a zero , ou seja;
[tex3]( a_{1} + b_{1} + c_{1} + d_{1} ) + ( a_{2}+ b_{2} + c_{2} + d_{2} ) = 0 + 0 = 0.[/tex3]
Perceba que continuamos com um polinômio na forma dada pelo enunciado , logo , a primeira condição é válida!
Vamos verificar agora a segunda condição, pegando um vetor qualquer do conjunto em questão
[tex3]P_{1}( x ) = a_{1}x^3 + b_{1}x^2 + c_{1}x + d_{1} \ \ ; \ \ a_{1} + b_{1} + c_{1} + d_{1} = 0 [/tex3] e um escalar também qualquer : [tex3]\lambda [/tex3] .
Então,
[tex3]\lambda .P_{1}( x ) = \lambda .( a_{1}x^3 + b_{1}x^2 + c_{1}x + d_{1} ) = \lambda .a_{1}x^3 + \lambda .b_{1}x^2 + \lambda .c_{1}x + \lambda .d_{1} [/tex3] .
Procedendo da mesma maneira como feito acima, devemos conferir se a soma dos coeficientes é igual a zero( Por quê? ) Ou seja;
[tex3]\lambda .a_{1} + \lambda .b_{1} + \lambda .c_{1} + \lambda .d_{1} = \lambda .( a_{1} + b_{1} + c_{1} + d_{1} ) [/tex3] .
E claramente já sabemos que essa soma é igual a zero ( 0 ) , logo :
[tex3]\lambda ( 0 ) [/tex3] = 0.
Dessa forma o polinômio continua da maneira que queríamos, ou seja , a segunda condição também é válida. Concluímos então que esses polinômios são um subespaço vetorial de P [tex3]_{3}(\mathbb{R})[/tex3] .
Portanto, o conjunto { ax³ + bx² + cx + d ; a + b + c + d = 0 } é um subespaço vetorial de P [tex3]_{3}(\mathbb{R})[/tex3] . C.q.v.
Nota
Os axiomas que são herdados por W são :
Axioma 1 – Fechamento na adição
Axioma 4 – Existência de vetor zero em W
Axioma 5 – Existência de negativo em W para cada vetor em W
Axioma 6 – Fechamento na multiplicação por escalar
de modo que esses devem ser verificados para provar que W é um subespaço de V. Contudo, segue do teorema acima( postado no início da resolução deste problema ) que se os Axiomas 1 e 6 valerem em W, então os Axiomas 4 e 5 valem em W como uma consequência e, portanto, não precisam ser verificados.
Excelente estudo!
Mai 2021
18
13:35
Re: subespaço com polinomios
muito obrigado!!! já sei como resolver uma questão semelhante agora. vlwwCardoso1979 escreveu: ↑Ter 18 Mai, 2021 12:24Observe
Uma verificação:
Devemos verificar as duas condições no teorema.
TEOREMA:
Se W for um conjunto de um ou mais vetores num espaço vetorial V, então W é um subespaço de V se, e só se, as condições seguintes forem válidas.
(a) Se u e v forem vetores em W, então u + v está em W.
(b) Se a for um escalar qualquer e u algum vetor de W, então au está em W.
Verificação da primeira condição, vamos tomar dois polinômios quaisquer do conjunto dado, temos:
[tex3]P_{1}( x ) = a_{1}x^3 + b_{1}x^2 + c_{1}x + d_{1} \ \ ; \ \ a_{1} + b_{1} + c_{1} + d_{1} = 0 [/tex3]
e
[tex3]P_{2}( x ) = a_{2}x^3 + b_{2}x^2 + c_{2}x + d_{2} \ \ ; \ \ a_{2} + b_{2} + c_{2} + d_{2} = 0 [/tex3] .
[tex3]P_{1}( x ) + P_{2}( x ) : [/tex3]
[tex3]P_{1}( x ) + P_{2}( x ) = ( a_{1}x^3 + b_{1}x^2 + c_{1}x + d_{1} ) + ( a_{2}x^3 + b_{2}x^2 + c_{2}x + d_{2} )[/tex3]
Agrupando os termos semelhantes, fica;
[tex3]P_{1}( x ) + P_{2}( x ) = ( a_{1} + a_{2} ).x^3 + ( b_{1} + b_{2} ).x^2 + ( c_{1} + c_{2} ).x + ( d_{1} + d_{2} )[/tex3] .
Devemos então, conferir se a soma dos coeficientes é igual a zero ( Por quê? ). Vem;
[tex3]( a_{1} + a_{2} ) + ( b_{1} + b_{2} ) + ( c_{1} + c_{2} ) + ( d_{1} + d_{2} ) = [/tex3] .
[tex3]( a_{1} + b_{1} + c_{1} + d_{1} ) + ( a_{2}+ b_{2} + c_{2} + d_{2} )[/tex3] .
E claramente, essas duas somas são iguais a zero , ou seja;
[tex3]( a_{1} + b_{1} + c_{1} + d_{1} ) + ( a_{2}+ b_{2} + c_{2} + d_{2} ) = 0 + 0 = 0.[/tex3]
Perceba que continuamos com um polinômio na forma dada pelo enunciado , logo , a primeira condição é válida!
Vamos verificar agora a segunda condição, pegando um vetor qualquer do conjunto em questão
[tex3]P_{1}( x ) = a_{1}x^3 + b_{1}x^2 + c_{1}x + d_{1} \ \ ; \ \ a_{1} + b_{1} + c_{1} + d_{1} = 0 [/tex3] e um escalar também qualquer : [tex3]\lambda [/tex3] .
Então,
[tex3]\lambda .P_{1}( x ) = \lambda .( a_{1}x^3 + b_{1}x^2 + c_{1}x + d_{1} ) = \lambda .a_{1}x^3 + \lambda .b_{1}x^2 + \lambda .c_{1}x + \lambda .d_{1} [/tex3] .
Procedendo da mesma maneira como feito acima, devemos conferir se a soma dos coeficientes é igual a zero( Por quê? ) Ou seja;
[tex3]\lambda .a_{1} + \lambda .b_{1} + \lambda .c_{1} + \lambda .d_{1} = \lambda .( a_{1} + b_{1} + c_{1} + d_{1} ) [/tex3] .
E claramente já sabemos que essa soma é igual a zero ( 0 ) , logo :
[tex3]\lambda ( 0 ) [/tex3] = 0.
Dessa forma o polinômio continua da maneira que queríamos, ou seja , a segunda condição também é válida. Concluímos então que esses polinômios são um subespaço vetorial de P [tex3]_{3}(\mathbb{R})[/tex3] .
Portanto, o conjunto { ax³ + bx² + cx + d ; a + b + c + d = 0 } é um subespaço vetorial de P [tex3]_{3}(\mathbb{R})[/tex3] . C.q.v.
Nota
Os axiomas que são herdados por W são :
Axioma 1 – Fechamento na adição
Axioma 4 – Existência de vetor zero em W
Axioma 5 – Existência de negativo em W para cada vetor em W
Axioma 6 – Fechamento na multiplicação por escalar
de modo que esses devem ser verificados para provar que W é um subespaço de V. Contudo, segue do teorema acima( postado no início da resolução deste problema ) que se os Axiomas 1 e 6 valerem em W, então os Axiomas 4 e 5 valem em W como uma consequência e, portanto, não precisam ser verificados.
Excelente estudo!
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Mai 2021
18
18:02
Re: subespaço com polinomios
Disponha ExcelenteCardoso1979 escreveu: ↑Ter 18 Mai, 2021 12:24muito obrigado!!! já sei como resolver uma questão semelhante agora. vlww
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