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Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Ensino Superior ⇒ subespaço com polinomios Tópico resolvido
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thetruth
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Mai 2021
17
23:43
subespaço com polinomios
como saber se esse conjunto é subespaço de P3 [tex3]\mathbb({R})[/tex3]
??
não faço ideia de como resolver isso.
não faço ideia de como resolver isso.
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Cardoso1979
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Mai 2021
18
12:24
Re: subespaço com polinomios
Observe
Uma verificação:
Devemos verificar as duas condições no teorema.
TEOREMA:
Se W for um conjunto de um ou mais vetores num espaço vetorial V, então W é um subespaço de V se, e só se, as condições seguintes forem válidas.
(a) Se u e v forem vetores em W, então u + v está em W.
(b) Se a for um escalar qualquer e u algum vetor de W, então au está em W.
Verificação da primeira condição, vamos tomar dois polinômios quaisquer do conjunto dado, temos:
[tex3]P_{1}( x ) = a_{1}x^3 + b_{1}x^2 + c_{1}x + d_{1} \ \ ; \ \ a_{1} + b_{1} + c_{1} + d_{1} = 0 [/tex3]
e
[tex3]P_{2}( x ) = a_{2}x^3 + b_{2}x^2 + c_{2}x + d_{2} \ \ ; \ \ a_{2} + b_{2} + c_{2} + d_{2} = 0 [/tex3] .
[tex3]P_{1}( x ) + P_{2}( x ) : [/tex3]
[tex3]P_{1}( x ) + P_{2}( x ) = ( a_{1}x^3 + b_{1}x^2 + c_{1}x + d_{1} ) + ( a_{2}x^3 + b_{2}x^2 + c_{2}x + d_{2} )[/tex3]
Agrupando os termos semelhantes, fica;
[tex3]P_{1}( x ) + P_{2}( x ) = ( a_{1} + a_{2} ).x^3 + ( b_{1} + b_{2} ).x^2 + ( c_{1} + c_{2} ).x + ( d_{1} + d_{2} )[/tex3] .
Devemos então, conferir se a soma dos coeficientes é igual a zero ( Por quê? ). Vem;
[tex3]( a_{1} + a_{2} ) + ( b_{1} + b_{2} ) + ( c_{1} + c_{2} ) + ( d_{1} + d_{2} ) = [/tex3] .
[tex3]( a_{1} + b_{1} + c_{1} + d_{1} ) + ( a_{2}+ b_{2} + c_{2} + d_{2} )[/tex3] .
E claramente, essas duas somas são iguais a zero , ou seja;
[tex3]( a_{1} + b_{1} + c_{1} + d_{1} ) + ( a_{2}+ b_{2} + c_{2} + d_{2} ) = 0 + 0 = 0.[/tex3]
Perceba que continuamos com um polinômio na forma dada pelo enunciado , logo , a primeira condição é válida!
Vamos verificar agora a segunda condição, pegando um vetor qualquer do conjunto em questão
[tex3]P_{1}( x ) = a_{1}x^3 + b_{1}x^2 + c_{1}x + d_{1} \ \ ; \ \ a_{1} + b_{1} + c_{1} + d_{1} = 0 [/tex3] e um escalar também qualquer : [tex3]\lambda [/tex3] .
Então,
[tex3]\lambda .P_{1}( x ) = \lambda .( a_{1}x^3 + b_{1}x^2 + c_{1}x + d_{1} ) = \lambda .a_{1}x^3 + \lambda .b_{1}x^2 + \lambda .c_{1}x + \lambda .d_{1} [/tex3] .
Procedendo da mesma maneira como feito acima, devemos conferir se a soma dos coeficientes é igual a zero( Por quê? ) Ou seja;
[tex3]\lambda .a_{1} + \lambda .b_{1} + \lambda .c_{1} + \lambda .d_{1} = \lambda .( a_{1} + b_{1} + c_{1} + d_{1} ) [/tex3] .
E claramente já sabemos que essa soma é igual a zero ( 0 ) , logo :
[tex3]\lambda ( 0 ) [/tex3] = 0.
Dessa forma o polinômio continua da maneira que queríamos, ou seja , a segunda condição também é válida. Concluímos então que esses polinômios são um subespaço vetorial de P [tex3]_{3}(\mathbb{R})[/tex3] .
Portanto, o conjunto { ax³ + bx² + cx + d ; a + b + c + d = 0 } é um subespaço vetorial de P [tex3]_{3}(\mathbb{R})[/tex3] . C.q.v.
Nota
Os axiomas que são herdados por W são :
Axioma 1 – Fechamento na adição
Axioma 4 – Existência de vetor zero em W
Axioma 5 – Existência de negativo em W para cada vetor em W
Axioma 6 – Fechamento na multiplicação por escalar
de modo que esses devem ser verificados para provar que W é um subespaço de V. Contudo, segue do teorema acima( postado no início da resolução deste problema ) que se os Axiomas 1 e 6 valerem em W, então os Axiomas 4 e 5 valem em W como uma consequência e, portanto, não precisam ser verificados.
Excelente estudo!
Uma verificação:
Devemos verificar as duas condições no teorema.
TEOREMA:
Se W for um conjunto de um ou mais vetores num espaço vetorial V, então W é um subespaço de V se, e só se, as condições seguintes forem válidas.
(a) Se u e v forem vetores em W, então u + v está em W.
(b) Se a for um escalar qualquer e u algum vetor de W, então au está em W.
Verificação da primeira condição, vamos tomar dois polinômios quaisquer do conjunto dado, temos:
[tex3]P_{1}( x ) = a_{1}x^3 + b_{1}x^2 + c_{1}x + d_{1} \ \ ; \ \ a_{1} + b_{1} + c_{1} + d_{1} = 0 [/tex3]
e
[tex3]P_{2}( x ) = a_{2}x^3 + b_{2}x^2 + c_{2}x + d_{2} \ \ ; \ \ a_{2} + b_{2} + c_{2} + d_{2} = 0 [/tex3] .
[tex3]P_{1}( x ) + P_{2}( x ) : [/tex3]
[tex3]P_{1}( x ) + P_{2}( x ) = ( a_{1}x^3 + b_{1}x^2 + c_{1}x + d_{1} ) + ( a_{2}x^3 + b_{2}x^2 + c_{2}x + d_{2} )[/tex3]
Agrupando os termos semelhantes, fica;
[tex3]P_{1}( x ) + P_{2}( x ) = ( a_{1} + a_{2} ).x^3 + ( b_{1} + b_{2} ).x^2 + ( c_{1} + c_{2} ).x + ( d_{1} + d_{2} )[/tex3] .
Devemos então, conferir se a soma dos coeficientes é igual a zero ( Por quê? ). Vem;
[tex3]( a_{1} + a_{2} ) + ( b_{1} + b_{2} ) + ( c_{1} + c_{2} ) + ( d_{1} + d_{2} ) = [/tex3] .
[tex3]( a_{1} + b_{1} + c_{1} + d_{1} ) + ( a_{2}+ b_{2} + c_{2} + d_{2} )[/tex3] .
E claramente, essas duas somas são iguais a zero , ou seja;
[tex3]( a_{1} + b_{1} + c_{1} + d_{1} ) + ( a_{2}+ b_{2} + c_{2} + d_{2} ) = 0 + 0 = 0.[/tex3]
Perceba que continuamos com um polinômio na forma dada pelo enunciado , logo , a primeira condição é válida!
Vamos verificar agora a segunda condição, pegando um vetor qualquer do conjunto em questão
[tex3]P_{1}( x ) = a_{1}x^3 + b_{1}x^2 + c_{1}x + d_{1} \ \ ; \ \ a_{1} + b_{1} + c_{1} + d_{1} = 0 [/tex3] e um escalar também qualquer : [tex3]\lambda [/tex3] .
Então,
[tex3]\lambda .P_{1}( x ) = \lambda .( a_{1}x^3 + b_{1}x^2 + c_{1}x + d_{1} ) = \lambda .a_{1}x^3 + \lambda .b_{1}x^2 + \lambda .c_{1}x + \lambda .d_{1} [/tex3] .
Procedendo da mesma maneira como feito acima, devemos conferir se a soma dos coeficientes é igual a zero( Por quê? ) Ou seja;
[tex3]\lambda .a_{1} + \lambda .b_{1} + \lambda .c_{1} + \lambda .d_{1} = \lambda .( a_{1} + b_{1} + c_{1} + d_{1} ) [/tex3] .
E claramente já sabemos que essa soma é igual a zero ( 0 ) , logo :
[tex3]\lambda ( 0 ) [/tex3] = 0.
Dessa forma o polinômio continua da maneira que queríamos, ou seja , a segunda condição também é válida. Concluímos então que esses polinômios são um subespaço vetorial de P [tex3]_{3}(\mathbb{R})[/tex3] .
Portanto, o conjunto { ax³ + bx² + cx + d ; a + b + c + d = 0 } é um subespaço vetorial de P [tex3]_{3}(\mathbb{R})[/tex3] . C.q.v.
Nota
Os axiomas que são herdados por W são :
Axioma 1 – Fechamento na adição
Axioma 4 – Existência de vetor zero em W
Axioma 5 – Existência de negativo em W para cada vetor em W
Axioma 6 – Fechamento na multiplicação por escalar
de modo que esses devem ser verificados para provar que W é um subespaço de V. Contudo, segue do teorema acima( postado no início da resolução deste problema ) que se os Axiomas 1 e 6 valerem em W, então os Axiomas 4 e 5 valem em W como uma consequência e, portanto, não precisam ser verificados.
Excelente estudo!
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Mai 2021
18
13:35
Re: subespaço com polinomios
muito obrigado!!! já sei como resolver uma questão semelhante agora. vlwwCardoso1979 escreveu: ↑18 Mai 2021, 12:24 Observe
Uma verificação:
Devemos verificar as duas condições no teorema.
TEOREMA:
Se W for um conjunto de um ou mais vetores num espaço vetorial V, então W é um subespaço de V se, e só se, as condições seguintes forem válidas.
(a) Se u e v forem vetores em W, então u + v está em W.
(b) Se a for um escalar qualquer e u algum vetor de W, então au está em W.
Verificação da primeira condição, vamos tomar dois polinômios quaisquer do conjunto dado, temos:
[tex3]P_{1}( x ) = a_{1}x^3 + b_{1}x^2 + c_{1}x + d_{1} \ \ ; \ \ a_{1} + b_{1} + c_{1} + d_{1} = 0 [/tex3]
e
[tex3]P_{2}( x ) = a_{2}x^3 + b_{2}x^2 + c_{2}x + d_{2} \ \ ; \ \ a_{2} + b_{2} + c_{2} + d_{2} = 0 [/tex3] .
[tex3]P_{1}( x ) + P_{2}( x ) : [/tex3]
[tex3]P_{1}( x ) + P_{2}( x ) = ( a_{1}x^3 + b_{1}x^2 + c_{1}x + d_{1} ) + ( a_{2}x^3 + b_{2}x^2 + c_{2}x + d_{2} )[/tex3]
Agrupando os termos semelhantes, fica;
[tex3]P_{1}( x ) + P_{2}( x ) = ( a_{1} + a_{2} ).x^3 + ( b_{1} + b_{2} ).x^2 + ( c_{1} + c_{2} ).x + ( d_{1} + d_{2} )[/tex3] .
Devemos então, conferir se a soma dos coeficientes é igual a zero ( Por quê? ). Vem;
[tex3]( a_{1} + a_{2} ) + ( b_{1} + b_{2} ) + ( c_{1} + c_{2} ) + ( d_{1} + d_{2} ) = [/tex3] .
[tex3]( a_{1} + b_{1} + c_{1} + d_{1} ) + ( a_{2}+ b_{2} + c_{2} + d_{2} )[/tex3] .
E claramente, essas duas somas são iguais a zero , ou seja;
[tex3]( a_{1} + b_{1} + c_{1} + d_{1} ) + ( a_{2}+ b_{2} + c_{2} + d_{2} ) = 0 + 0 = 0.[/tex3]
Perceba que continuamos com um polinômio na forma dada pelo enunciado , logo , a primeira condição é válida!
Vamos verificar agora a segunda condição, pegando um vetor qualquer do conjunto em questão
[tex3]P_{1}( x ) = a_{1}x^3 + b_{1}x^2 + c_{1}x + d_{1} \ \ ; \ \ a_{1} + b_{1} + c_{1} + d_{1} = 0 [/tex3] e um escalar também qualquer : [tex3]\lambda [/tex3] .
Então,
[tex3]\lambda .P_{1}( x ) = \lambda .( a_{1}x^3 + b_{1}x^2 + c_{1}x + d_{1} ) = \lambda .a_{1}x^3 + \lambda .b_{1}x^2 + \lambda .c_{1}x + \lambda .d_{1} [/tex3] .
Procedendo da mesma maneira como feito acima, devemos conferir se a soma dos coeficientes é igual a zero( Por quê? ) Ou seja;
[tex3]\lambda .a_{1} + \lambda .b_{1} + \lambda .c_{1} + \lambda .d_{1} = \lambda .( a_{1} + b_{1} + c_{1} + d_{1} ) [/tex3] .
E claramente já sabemos que essa soma é igual a zero ( 0 ) , logo :
[tex3]\lambda ( 0 ) [/tex3] = 0.
Dessa forma o polinômio continua da maneira que queríamos, ou seja , a segunda condição também é válida. Concluímos então que esses polinômios são um subespaço vetorial de P [tex3]_{3}(\mathbb{R})[/tex3] .
Portanto, o conjunto { ax³ + bx² + cx + d ; a + b + c + d = 0 } é um subespaço vetorial de P [tex3]_{3}(\mathbb{R})[/tex3] . C.q.v.
Nota
Os axiomas que são herdados por W são :
Axioma 1 – Fechamento na adição
Axioma 4 – Existência de vetor zero em W
Axioma 5 – Existência de negativo em W para cada vetor em W
Axioma 6 – Fechamento na multiplicação por escalar
de modo que esses devem ser verificados para provar que W é um subespaço de V. Contudo, segue do teorema acima( postado no início da resolução deste problema ) que se os Axiomas 1 e 6 valerem em W, então os Axiomas 4 e 5 valem em W como uma consequência e, portanto, não precisam ser verificados.
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Cardoso1979
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Mai 2021
18
18:02
Re: subespaço com polinomios
DisponhaCardoso1979 escreveu: ↑18 Mai 2021, 12:24 muito obrigado!!! já sei como resolver uma questão semelhante agora. vlww
Excelente 
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